Résolution d’équation du second degré Deux exercices résolus détaillés et expliqués Accessible dès la quatrième!

Problème n°1 Résoudre l’équation (x-1)2 – 9 = 0

1ère étape : Factorisation Pour factoriser (x-1)2 - 9 on peut d’abord transformer l’équation de la façon suivante (x-1)2 - 9 = (x-1)2 - 32 Ainsi on remarque mieux que 9 est le carré de 3 et donc qu’on est en présence d’une différence de deux carrés. L’identité remarquable a2 - b2 = (a+b) (a-b) est utilisable avec a = (x-1) et b = 3 donc : (x-1)2-9 = [(x-1)+3] [(x-1)-3]

1ère étape : Factorisation On peut maintenant enlever les parenthèses à l’intérieur des crochets pour simplifier l’expression ce qui nous donne : (x-1)2-9 = [x-1+3] [x-1-3] = (x-1+3) (x-1-3) d’où (x-1)2-9 = (x+2) (x-4)

2nde étape : Résolution de l’équation Résoudre (x-1)2-9 = 0 revient donc à résoudre l’équation (x+2) (x-4) = 0 Pour qu’un produit soit nul il suffit qu’un des deux membres du produit soit nul. On recherchera donc la solution de x+2 = 0 et la solution de x-4 = 0 pour obtenir les deux solutions de l’équation complète.

2nde étape : Résolution de l’équation Il faut prendre une équation comme une balance à deux plateaux. Ceux-ci contiennent chacun le même poids puisqu’il y a égalité. Si on veut garder l’équilibre on peut ajouter n’importe quel poids sur un plateau à la condition de rajouter le même poids sur l’autre plateau.

= X+2 = X+2-2 Pour ne garder que X sur le plateau de = Pour ne garder que X sur le plateau de gauche il faut annuler 2 en ajoutant –2 (son opposé) X+2-2 = Puis rééquilibrer la balance en ajoutant –2 sur le plateau de droite

Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termes 0-2 = Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termes de l’égalité X -2 = Pour obtenir la première solution de l’équation

2nde étape : Résolution de l’équation Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre l’équation X + 2 = 0 x + 2 – 2 = 0 – 2 x = -2 X - 4 = 0 x – 4 + 4 = 0 + 4 x = 4

2nde étape : Résolution de l’équation L’ensemble des solutions de l’équation (x-1)2 – 9 = 0 est donc S = {-2;4}

Problème n°2 Résoudre l’équation (2x-3)2 – 16 = 0

(2x-3)2-16 = [2x-3+4] [2x-3-4] = (2x-3+4) (2x-3-4) 1ère étape : Factorisation Pour factoriser (2x-3)2 - 16 on peut d’abord transformer l’équation de la façon suivante (2x-3)2 - 16 = (2x-3)2 - 42 Ainsi on remarque mieux que 16 est le carré de 4 et donc qu’on est en présence d’une différence de deux carrés. L’identité remarquable a2 - b2 = (a+b) (a-b) est utilisable avec a = (2x-3) et b = 4 donc : (2x-3)2-16 = [(2x-3)+4] [(2x-3)-4] On peut maintenant enlever les parenthèses à l’intérieur des crochets pour simplifier l’expression ce qui nous donne : (2x-3)2-16 = [2x-3+4] [2x-3-4] = (2x-3+4) (2x-3-4) d’où (2x-3)2-16 = (2x+1) (2x-7)

2nde étape : Résolution de l’équation Résoudre (2x-3)2-16 = 0 revient donc à résoudre l’équation (2x+1) (2x-7) = 0 Pour qu’un produit soit nul il suffit qu’un des deux membres du produit soit nul. On recherchera donc la solution de 2x+1 = 0 et la solution de 2x-7 = 0 pour obtenir les solutions de l’équation complète.

2nde étape : Résolution de l’équation Réutilisons notre principe de la balance à deux plateaux. Sans oublier qu’il faut garder l’équilibre entre les deux plateaux.

= 2X+1 = 2X+1-1 Pour ne garder que 2X sur le plateau de = Pour ne garder que 2X sur le plateau de gauche il faut annuler 1 en ajoutant –1 (son opposé) 2X+1-1 = Puis rééquilibrer la balance en ajoutant –1 sur le plateau de droite

2X+1-1 0-1 = 2X -1 = Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termes de l’égalité 2X -1 = Ce n’est pas encore suffisant puisque c’est la valeur de X et pas de 2X que nous cherchons

½ . 2X -1 = ½ . 2X ½ . (-1) = Pour ne garder que X sur le plateau de gauche il faut multiplier 2 par son inverse, soit ½ ½ . 2X -1 = Puis rééquilibrer la balance en multipliant par ½ sur le plateau de droite, ce qui peut aussi s’écrire : ½ . 2X ½ . (-1) =

(½ . 2)X - (½ .1) = Il n’y a plus qu’à simplifier les deux termes de l’égalité X - ½ = Pour obtenir la première solution de l’équation

2nde étape : Résolution de l’équation Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre l’équation 2X + 1 = 0 2x + 1 – 1 = 0 – 1 2 x = -1 ½ . 2x = ½ . (-1) x = - ½ Pour le premier terme de l’équation

2nde étape : Résolution de l’équation Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre l’équation 2X - 7 = 0 2x – 7 + 7 = 0 + 7 2 x = 7 ½ . 2x = ½ . (7) x = 7 / 2 Pour le second terme de l’équation

2nde étape : Résolution de l’équation L’ensemble des solutions de l’équation (2x-3)2 – 16 = 0 est donc S = {-1/2;7/2}

pour notre petite démonstration. Petits conseils Nous n’avons utilisé que l’identité remarquable a2 – b2 = (a-b)(a+b) pour notre petite démonstration. N’oubliez pas les autres a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 et a2 – 2ab + b2 = (a - b)2 Cherchez toujours à factoriser à chaque fois que vous voudrez résoudre une équation d’un degré supérieur ou égal à 2.

Remarques Quand vous cherchez à résoudre une équation, pensez au principe de la balance à deux plateaux et n’oubliez pas les deux règles d’algèbre indispensables à la résolution d’équations : La somme d’un nombre et de son opposé est égale à 0 Le produit d’un nombre et de son inverse est égal à 1