Calculs de plaques fissurées avec XFEM Workshop « Méthodes Numériques Innovantes, Applications à la Mécanique », 23-24 juin 2008, INSA de Lyon Jérémie Lasry, (IMT / INSA Toulouse) Directeurs : M. Salaün (ISAE) et Y. Renard (ICJ / INSA Lyon) Responsable scientifique Airbus : M. Balzano

INTRODUCTION

Insuffisances des éléments finis classiques en domaine fissuré Contrainte au niveau du maillage Raffiner autour du fond de fissure Remailler après propagation Taux de convergence médiocre (même en e.f. ou ) : XFEM permet de pallier à ces inconvénients.

Caractéristiques d’XFEM XFEM = MEF classique + fonctions de formes locales spécifiques qui représentent la fissure Éléments finis classiques Représentation de la fissure Fonctions représentant la singularité H : fonction « saut » (vaut ± 1) : singularités de fond de fissure Si propagation, seuls les ddl singuliers sont mis à jour.

XFEM en plaques Cadre de travail : Fissures traversantes Matériau homogène isotrope, hypothèse des petites déformations et des petits déplacements a problème linéaire Mécanique linéaire de la rupture, matériaux fragiles (≠ ductiles) Bibliographie : un seul article d’XFEM en plaques (Moës & co., 1999) a perte de précision si épaisseur mince.

Dimension industrielle : collaboration avec Airbus Amène de nouvelles contraintes : Coût de calcul et complexité raisonnables (En vue : intégration dans un code de calcul) La méthode doit être robuste même pour des plaques très minces (élancement = ).

Article Moës : modèle Mindlin-Reissner Modèle sujet au verrouillage numérique (éléments sans verrouillage : QUAD 4, DKT-DKQ, MITC 4, mixtes…). Exemple de verrouillage : XFEM Moës : MITC 4, singularités sans traitement => Nous pensons que ça produit aussi du verrouillage Epaisseur = 1/10 Epaisseur = 1/20 Epaisseur = 1/30

Article Moës : résultat numérique XFEM moins précis que la méthode classique en cas d’épaisseur mince Valeur à obtenir = 1 Il faudrait appliquer un traitement aux singularités Epaisseur x 20

Question : quel traitement appliquer aux enrichissements singuliers ? Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces : Sous-intégration (QUAD 4) => perte de précision Kirchhoff discret (DKT) et Projection (MITC 4) => non-applicables pour des fonctions non-polynomiales Polynômes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel) Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant. Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.

Démarche de la thèse Utilisation modèle sans verrouillage : Kirchhoff-Love Adapter les idées développées en élasticité 2D (cf. Ref). Objectifs à atteindre : Précision : même taux de convergence qu’un problème sans fissure (selon méthode). Coût de calcul : du même ordre que les éléments finis classiques. Implémentable dans un code de calcul industriel Ref : P. LABORDE, J. POMMIER, Y. RENARD, M. SALAÜN. High order eXtended Finite Element Method for cracked domains. Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 64, pp 354-381, 2005.

Travaux de thèse : Modèle de Kirchhoff-Love

PLAN Présentation du modèle de Kirchhoff-Love Caractéristiques du modèle Discrétisation Modes singuliers Formulation XFEM « standard » Cas-test et résultats numériques Problème en quadrangles Formulation XFEM « Raccord Intégral » Résultats numériques Application industrielle : calcul de facteurs d’intensité de contraintes (FIC)

1. Modèle de Kirchhoff-Love Avantages : Modèle précis pour plaque mince (limite du 3D quand e →0 ) Pas de verrouillage numérique Singularités connues (modèle de bilaplacien) Pas de déformation de cisaillement transverse : Seule fonction inconnue : Contrainte : La discrétisation nécessite un élément fini éléments HCT/FVS réduits conviennent, avec coût de calcul raisonnable.

Singularités et modes de sollicitations (Grisvard) En domaine fissuré, la solution exacte s’écrit : : constantes du matériau : facteurs d’intensité de contrainte Flexion anti-symétrique => Mode II Cisaillement, Torsion Flexion symétrique => Mode I

Discrétisation : les éléments HCT/FVS réduits (P. G Discrétisation : les éléments HCT/FVS réduits (P.G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems. North-Holland, 1978) Fonctions de base : polynômes par morceaux, dérivée normale réduite en sur le bord, et raccordées globalement . 3 degrés de liberté par nœud : 1 déplacement + 2 dérivées (= Mindlin, donc coût raisonnable) Précision de l’élément (régularité requise : solution u dans ) Norme H² : O(h) (théorique) Norme L² : O(h²) (observé) HCT réduit FVS réduit Or, partie régulière dans (cf. Grisvard) => Avec singularité exacte, convergence optimale atteignable

2. XFEM « Standard » Expression de l’inconnu : Expression des enrichissements :

Solution exacte pour les tests numériques (K1 = 0, K2 = 1) Tests réalisés avec Getfem++ J. POMMIER, Y. RENARD. Getfem++, an open source generic C++ library for finite element methods. http://home.gna.org/getfem.

Système non-inversible en quadrangles En cause : l’espace FVS réduit contient des fonctions nulles sur 2 sous-triangles, mais pas nulles globalement. Pas de problème en triangle => changer les quadrangles en 2 triangles

3. XFEM « Raccord intégral » Expressions des inconnues sur chaque sous-domaine : Raccord intégral : Multiplicateurs approchés en Autre type de raccord possible ( seulement)

Nombre d’éléments sur un bord

Application industrielle : Calcul de FIC K1, K2 : Facteurs d’Intensité de Contraintes (FIC) Grandeurs utilisées dans l’industrie comme critère de propagation (valeur critique) En principe : évalués par post-traitement (intégrales de contour) XFEM « Raccord Intégral  » : par identification des , on déduit les FIC

Résultats numériques : Calcul de FIC Plaque soumise a des moments uniformes (valeur de K1 référencée, maillage quadrangle) Nbre elements sur coté long 20 40 60 80 100 125 Erreur K1 relative (%) 7.90 2.58 1.14 0.40 0.03 0.08 Idem, maillages non-structurés 9.99 4.40 2.22 1.98 0.02 Inconvénient : résultats pas forcément décroissants Erreur théorique est globale, et pas locale

Conclusion pour Kirchhoff-Love Méthode bien formulée : Précision optimale atteinte Coût de calcul supplémentaire marginal Conditionnement amélioré => Idées élasticité 2D ont pu être étendues au cas des plaques. Méthode compétitive et utilisable en contexte industriel Perspectives : Comparaison FIC avec intégrales de contour Recherche d’une approche pour Mindlin-Reissner

SUPPLEMENTS

Généralités sur les modèles de plaques 5 fonctions inconnues :

En homogène-isotrope, et sont découplés : Les 5 fonctions inconnues, permettent de reconstituer le déplacement 3D (calcul 2D) En homogène-isotrope, et sont découplés : = élasticité 2D (déjà bien traité) = flexion : le sujet d’intérêt. Pour Mindlin-Reissner : Modèle le plus utilisé dans l’industrie Discrétisation : problème de verrouillage numérique

Exemple de verrouillage en MEF classique (polynômes Q1) Elancement = 1/10 Elancement = 1/20 Elancement = 1/30

Origine du verrouillage Minimisation : Trouver e faible => prépondérance du terme de cisaillement transverse (pénalisation) => Les éléments finis classiques représentent mal cette contrainte : Exemple en P1 : Flexion Cisaillement Transverse

Traitements classiques nombreux Sous-intégration (QUAD 4) Relations Kirchhoff discrètes (DST-DSK) Projection sur polynômes de degrès plus faible (MITC4) Polynomes P2, P3 Méthodes mixtes

Traitement du verrouillage (élancement = ) QUAD 4 ou MITC 4 Degrés 2

Cas XFEM : Quel traitement appliquer aux enrichissements singuliers ? Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces : Sous-intégration => perte de précision Kirchhoff discret et Projection => non-applicables pour des fonctions non-poynomiales Polynomes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel) Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant. Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.

XFEM avec MITC 4 (Moës & co XFEM avec MITC 4 (Moës & co., 2000) (sans traitement particulier sur les enrichissement singuliers) Problème : Du verrouillage numérique est produit XFEM moins précis que la méthode classique en cas d’épaisseur mince (graphe extrait de [2]) Valeur à obtenir = 1 Epaisseur x 20

Conclusion sur Mindlin Travail important pour traiter efficacement le verrouillage numérique des enrichissements singuliers Perspectives : Évaluation plus précise de ce type de verrouillage Essais avec polynômes P2 Formulation d’une stratégie mixte (séparation fonction de forme/enrichissements singuliers) Autre approche dans la thèse: utilisation d’un modèle de plaque sans verrouillage.