L’Analyse de Variance 2 L’ANOVA 2 fixe à r répétitions L’ANOVA 2 sans répétition

Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 ANOVA 2 : comparaison de pq moyennes Objectifs : tester les effets sur la variable Y du facteur A (p modalités) du facteur B (q modalités) de l’interaction AxB

Plans à facteurs croisés L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 Plans à facteurs croisés A1 A2 … Ai … Ap B1 y111 y112 … B2 Bj yijk Bq nij mesures par case Ex : A : souche, B : température, Y : rythme cardiaque

Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 * A et B fixe : plan fixe * A et B aléatoires : plan aléatoire * A ou B aléatoire : plan mixte * nij = 1 : ANOVA 2 sans répétition * nij = r constant : ANOVA 2 avec nombre égal de répétitions * nij = variable : ANOVA 2 avec nombre inégal de répétitions

L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 Notion d’interaction Interaction : B a un effet différent suivant la modalité de A considérée (ou réciproquement) Ex : souche A : le rythme cardiaque augmente quand t° augmente souche B : reste stable souche C : diminue L’interaction peut masquer un effet principal

L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 Graphiquement 15 18 21 24 27 30 y 15 18 21 24 27 30 y Conséquence les effets principaux ne peuvent être étudiés qu’en tenant compte de l’interaction 15 18 21 24 27 30 y Pas d’interaction

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 1. Données et notations 1 ≤ i ≤ p ; 1 ≤ j ≤ q ; 1 ≤ k ≤ r A1 A2 … Ai … Ap B1 y111 y112 n11 … y11k T11. y11r B2 Bj yijk Bq n.1 T.1. n.j T.j. nij Tij. n1. T1.. ni. Ti.. N T

2. Modèle et décomposition de la variation L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 2. Modèle et décomposition de la variation Yijk = m + ai + bj + gij + eijk m : moyenne ai : effet de la ième modalité de A bj : effet de la jème modalité de B gij : effet de l’interaction dans la ijème case eijk : erreur : N(0,s) : à tester! SCET = SCEA + SCEB + SCEAxB + SCER

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 3. Calculs pratiques

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 4. Tableau d’ANOVA SV SCE ddl CM F A SCEA p-1 CMA FA = CMA/CMR B SCEB q-1 CMB FB = CMB/CMR AxB SCEAxB (p-1)(q-1) CMAxB FAxB = CMAxB/CMR R SCER pq(r-1) CMR T SCET pqr-1

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 4. Tests de l’ANOVA 2 Ho : gij = 0 Ho : ai = 0 Ho : bj = 0

5. Sélection de modèles dans l’ANOVA 2 L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 5. Sélection de modèles dans l’ANOVA 2 Partir du modèle le plus complexe: Interaction S : Yijk = m + ai + bj + gij + eijk Interaction NS, A et B S : Yijk = m + ai + bj + eijk Interaction et B NS, A S : Yijk = m + ai + eijk Interaction et A NS, B S : Yijk = m + bj + eijk Interaction, A et B NS : Yijk = m + eijk

L’ANOVA 2 sans répétition 1. Le modèle r = 1. Dans le cas du modèle fixe : Yij = m + ai + bj + gij + eij Décomposition : A B AxB e = 0 Pas d’estimation de la variance intra-case = résiduelle Ou : Les variances résiduelle et d’interaction sont confondues.

L’ANOVA 2 sans répétition 2. Tests des effets - effet de l’interaction : * graphiquement * test de Tukey - Lorsque l’interaction n’a pas d’influence significative : * tests sur A et B - Lorsque l’interaction a un effet significatif : * pas de test sur A et B

L’ANOVA 2 sans répétition 3. Exemple rendement agricole en fonction du sol et de la variété nij = 1

L’ANOVA 2 sans répétition 3. Exemple analyse graphique de l’interaction

L’ANOVA 2 sans répétition 3. Exemple SV SCE ddl CM F sol 186 2 93 15,5 variété 54 2 27 4,5 R 24 4 6 T 264 8