Exemple en dynamique de population Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ? Q2 “La structure en âge” est-elle stable ? Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise :

Exemple en dynamique de populaiton Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? t grand Q2 “La structure en âge” est-elle stable ?

Diagonalisation d’une matrice : exemple Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise donc

Diagonalisation d’une matrice : exemple L’équation vérifiée par une structure en âge stable est M N = l N M N - l N = 0 (M – l I) N = 0 Si det non nul alors une solution unique Si det = 0 (matrice non inversible) : soit 0 solution, soit une infinité Or N = 0 est forcement solution, donc si on veut des solutions N non nul, il faut que det (M – l I) =0

Diagonalisation d’une matrice : exemple det (M – l I) =0 On a deux valeurs possibles : l = 2 et l = -1 “valeur propre” “vecteur propre”

Diagonalisation d’une matrice : exemple On a deux valeurs possibles : l = 2 et l = -1 “valeur propre” “vecteur propre”

Diagonalisation d’une matrice : exemple Réponse à la question Q1 : Que devient cette population à long terme ? On écrit le vecteur N0 dans la base des vecteurs propres N1 et N2 associés aux deux valeurs propres l1 = 2 et l2 = -1 : N0 = a N1 + b N2 Avec M N1 = l1 N1 et M N2 = l2 N2

Diagonalisation d’une matrice : exemple Que devient cette population à long terme ? t grand l1 = 2 , l2 = -1 La plus grande des deux valeurs propres (en valeur absolue) est le taux d’accroissement de la population : la population augmente si ce taux est >1

Diagonalisation d’une matrice : exemple Réponse à la question Q2 : Structure en âge stable ? si la population double chaque année (l = 2) alors la structure en âge tend à se stabiliser au bout d’un certain temps : il y a 4 fois plus d’individus de 1 an que d’individus de 2 ans. (L’autre valeur, l = -1, n’a pas de signification biologique) Problèmes 3.1 et 3.2 fascicule TT

Diagonalisation d’une matrice Réduction des endomorphismes Généralités Une application en génétique

Un exemple en génétique Une espèce autogame diploïde Auto-fécondation Un gène bi-allélique Aa, AA ou aa Quelle est l’évolution de la structure génétique de cette population à long terme ? AA (pk) aa (rk) Aa (qk)  1/4 1/2 AA aa Aa Une plante est dite autogame quand son propre pollen féconde ses propres ovules. Se dit d’une cellule qui possède 2n chromosomes, c'est à dire que chaque type de chromosome est en 2 exemplaires (= chromosomes homologues). Les chromosomes homologues portent les mêmes gènes mais pas forcément les mêmes allèles. Cf. Problème 3.3 en TT

Les équations

Objectif On peut associer une application linéaire à la matrice A : f Trouver une base telle que la matrice de f devienne diagonale : (P matrice de passage) On dit alors que f est diagonalisable

Vecteurs et valeurs propres Théorème f : E-> E est diagonalisable si/si il existe une base de E formée de vecteurs propres. (V est la matrice colonne des coordonnées du vecteur )

1. Recherche des valeurs propres Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :

Retour à l’exemple en génétique

2. Recherche des vecteurs propres Théorème f est diagonalisable si/si pour chaque valeur propre li de multiplicité ai , on a dim El = ai .

Suite de l’exemple A est “diagonalisable”

3. Diagonaliser Rq 1 : Les vecteurs propres forment une base. P est bien une matrice de passage Rq 2 : L’ordre des valeurs propres dans D dépend de celui des vecteurs propres dans P.

Calculer Ak On a D = P-1 A P, quelques rappels :

Conclusion de l’exemple Rq2

Conclusion biologique de l’exemple Que deviennent les fréquences p (AA), q (Aa) et r (aa) à long terme : quand k tend vers l’infini ? Problème 4.2 en TT

Application en génétique et application en dynamique de population La plus grande des valeurs propres EX en dynamique de population : l1 est le taux d’accroissement et les vect.p. {ni} représentent la structure en âge de la population, à long terme. EX en génétique (ou le blé) : l1 = 1 et les vect.p. représentent les fréquences, à long terme.

Produit scalaire et orthogonalité MathSV chapitre 5

Le produit scalaire canonique L’espace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n. Notation matricielle :

Norme

Normalisation

Orthogonalité La base canonique de l’espace euclidien est une base orthonormale : (Exercice : verifier que la base canonique de IR2 est orthonormée)

Projecteur orthogonal Le vecteur projeté de sur est le vecteur : 

Distance euclidienne