Outils pour la Biologie DEUG SV 2ème année (u.e.42) MATHEMATIQUES Outils pour la Biologie Sandrine CHARLES scharles@biomserv.univ-lyon1.fr La Doua – Bât. G. Mendel - 1er étage

Chapitre 1 Espaces vectoriels ALGEBRE LINEAIRE Chapitre 1 Espaces vectoriels

Un premier exemple

Deux opérations

Un deuxième exemple

Un deuxième exemple 23 lieux (pré-Alpes) et 7 variables physico-chimiques 23 « points » avec 7 coordonnées : 7 « points » avec 23 coordonnées :

La notion d’espace vectoriel Historiquement c’est à PEANO que revient le mérite d’avoir défini de façon axiomatique le concept d’espace vectoriel sur un ensemble de scalaires. Le terme « scalaires » (du latin scalaris = escalier, échelle) est utilisé au sens de numérique.

Exemples d’e.v. L’ensemble des vecteurs du plan L’ensemble

s.e.v. Tout s.e.v. est un e.v. Si E est un e.v., alors et E lui-même sont des s.e.v. de E.

Famille génératrice La famille des vecteurs , et est une famille génératrice de . L’ensemble est engendré par les polynômes .

Dimension Une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E est une base de E si elle est à la fois libre ET génératrice. La famille des vecteurs , et est une base de  Base canonique

Le champ de blé Trois formes A1, A2, A3 : P n’est pas un s.e.v. de dim(P) = 2

Chapitre 2 Applications linéaires ALGEBRE LINEAIRE Chapitre 2 Applications linéaires

Applications

morphismes

Applications linéaires E et F sont des espaces vectoriels

Applications linéaires On conserve + et x L’ensemble des applications linéaires de E vers F est noté .

Exemples

Image et Noyau

INjectivité NON OUI

SURjectivité NON OUI

BIjectivité

Définitions Endomorphisme : A.L. de E dans E Isomorphisme: A. L. bijective Automorphisme : endomorphisme bijectif

Opérations est un espace vectoriel. et quand elles existent sont des applications linéaires ; en général quand elle existe est une application linéaire.

Projecteur / Involution Un endormophisme f de E est dit idempotent lorsque . On appelle projecteur de E tout endomorphisme idempotent de E. Un endomorphisme s de E est une involution linéaire lorsque .