Les écritures fractionnaires …. du cycle III au collège

Les différents sens des écritures fractionnaires L’aspect fraction d’une grandeur unité L’aspect quotient Nombre Opérateur  On retrouve ces différents statuts des écritures fractionnaires du cycle 3 à la cinquième.  Chacun de ces statuts est une aide et un obstacle à la construction de la fraction-nombre.

Au cycle 3 : les fractions d’une grandeur unité La fraction est liée au partage, au fractionnement d'une grandeur. Le partage des longueurs peut se faire : par pliage à l’aide d’un réseau de droites parallèles équidistantes.

Au cycle 3 : le « guide-âne » Partage en 3 Partage en 5

Au cycle 3 : les fractions d’une grandeur unité 7 3 c ’est 7 fois le tiers de l ’unité ou «7 fois  » 1 1 3 7 3 7 3 = 2 + 1

Au cycle 3 : les fractions d’une grandeur unité Dénominateurs simples 2, 3, 4, 5 ( et 8, 16, 9,…). Fractions inférieures ou supérieures à 1 La relation à l’unité permet de comparer des fractions, de transformer des écritures. c’est 6 fois plus , soit 6 + est supérieur à , donc est supérieur à 1 19 3 1 5

Au cycle 3 : l’écriture fractionnaire d’un nombre Pour donner du sens aux nombres décimaux s’écrit 2,1 2 + 1 10 7,36 = 7 + 3 10 + 6 100

Au cycle 3 : l’écriture fractionnaire d’un nombre Pour préparer l’approche du nombre : Un demi : Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs

En sixième : l’écriture fractionnaire d’un nombre Partir d’une situation problème : On souhaite partager un segment de longueur 7 cm en 3 morceaux de même longueur. Quelle est la longueur d’un morceau?

En sixième : l’écriture fractionnaire d’un nombre 1 cm 7 x 1 3 ? 7 3 7 cm

En sixième : l’écriture fractionnaire d’un nombre 1 3 1 unité 7 3 7 unités

En sixième : l’écriture fractionnaire d’un nombre 7 1

En sixième : les fractions d’une grandeur unité  Introduction du produit d’un nombre entier par un quotient de nombres entiers 35 3 ´ 5 de l’aire du disque = 5 7 tiers de l’aire du disque = (5 7) tiers de l’aire du disque = 35 tiers de l’aire du disque = de l’aire du disque 7 7 35 5 ´ 3 =

En sixième : écriture fractionnaire et opérateur 2 3 Comment prendre les de 7 ? On prend le tiers de 7 (on divise 7 par 3). On obtient 7 3 . On multiplie ce nombre par 2 On obtient 2 ´ 7 3 On a : 2 ´ 7 3 = 14 2 7. Conclusion : . prendre les de 7, c’est multiplier 7 par

En sixième : écriture fractionnaire et opérateur 3

En sixième : l’écriture fractionnaire d’un nombre Trois idées fondamentales • • •

En sixième : l’écriture fractionnaire d’un nombre Difficultés et obstacles désigne un nombre et non pas un calcul à effectuer et ce nombre est le résultat de la division de 7 par 3. 7 3   d’une longueur 2 3 1  le nombre repéré sur une droite 2 3

En sixième : fraction d’une grandeur unité et nombre Difficultés et obstacles  7 fois le tiers de 1 est égal au tiers de 7 1 1 3 7 ´ 1 3 7 3 7

En sixième : fraction d’une grandeur unité et nombre Difficultés et obstacles 3 4 3 4 6 8 + =

´ ´ = En cinquième : les fractions d’une grandeur unité Une introduction possible ou une illustration du produit de deux nombres en écriture fractionnaire Calcul de 2 3 ´ 4 2 3 ´ 4 = 6 12

En cinquième : utilisation des quotients Justification du calcul du produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire On peut s’appuyer sur le statut de nombre

En cinquième : utilisation des quotients

En cinquième : utilisation des quotients 2 3 ´ 4 7 Calcul de 2 3 = 2 ´ 1 3 4 7 1 7 On sait que et = 4 ´ ´ 2 3 4 7 = 2 1 Dans un produit on peut changer l’ordre des facteurs. On obtient : 2 3 4 7 1 7 1 3 1 21 8 ´ ´ = 2 ´ 4 ´ ´ = 2 3 ´ 4 7 8 21 Conclusion : =

Quelques pistes  Manipuler, expérimenter bande de papier, guide-âne…. puzzle, aire et fraction, périmètre et fractions, rectangle de 10 carreaux = 1 unité représenter   , …

Quelques pistes  Recourir au langage 3 x 2 cinquièmes = 6 cinquièmes = … 1 demi x 4 cinquièmes = moitié de 4 cinquièmes = 2 cinquièmes diversifier la lecture de trois septièmes le septième de 3 3 divisé par 7 … 3 7  éviter 3 sur 7 quand c’est possible

 Décomposer à l’aide de la partie entière Quelques pistes « Réimplanter » les fractions supérieures à 1  Décomposer à l’aide de la partie entière  Travailler en priorité avec des fractions «raisonnables» demi, tiers, quart, cinquième, septième,... dixième, centième  Varier les approches, les diversifier  Garder à l’esprit que cette construction de fraction-nombre est longue et difficile  Ne pas se précipiter sur le côté opératoire

Chronologie des apprentissages