مدخل تاريخي للأعداد العقدية إعداد: نادي الرياضيات

كيف ظهرت الأعداد العقدية؟ الاعتقاد بأن أصل الأعداد العقدية هو حل معادلات الدرجة الثانية: هذا اعتقاد خاطئ، لأن هذا النوع من المعادلات يتوفر على 0 أو جذر واحد أو جذرين مختلفين في Rمجموعة الأعداد الحقيقية. وعدد جذور المعادلة مرتبط كما نعلم بإشارة المميز:

عدد جذور معادلة من الدرجة الثانية وفق إشارة مميزها ∆>0 المعادلة تقبل جذرين حقيقين، 0 =∆ المعادلة تقبل جذرا حقيقيا واحدا مزدوجا، 0> ∆المعادلة لا تقبل أي جذر حقيقي.

مثال أول x3-7x-6=0 معادلة من الدرجة الثالثة تقبل ثلاثة جذور حقيقية. صيغة المعادلة: x3-7x-6=0 نلاحظ أن x=-1 جذر بالنسبة لهذه المعادلة، ومنه: x3-7x-6=(x+1)(x²-x-6)

المعادلة x²-x-6=0 تقبل جذرين حقيقيين، لأن مميزها يساوي: ∆=(-1)²-4.1.(-6)= 1+24=25 وهو عدد موجب والجذرين هما على التوالي: x1=[-(-1)+5]/2=3 وَ x2=[-(-1)-5]/2=-2 إذن جذور هذه المعادلة هي: -1 وَ-2 وَ3.

x3-3x+2=(x+2)(x²-2x+1)=(x+2)(x-1)² المثال الثاني معادلة تقبل جذرا حقيقا أولا وجذرا حقيقيا ثانيا مزدوجا: صيغة المعادلة هي: x3-3x+2=0 نلاحظ أن x=-2 جذر بالنسبة لهذه المعادلة. إذن: x3-3x+2=(x+2)(x²-2x+1)=(x+2)(x-1)² جذرا المعالة هما 2- وَ1 مزدوج

المثال الثالث معادلة تقبل جذرا حقيقيا وجذرين آخرين غير حقيقين: صيغة المعادلة هي: x3-2x+4=0 نلاحظ أن 2- جذر بالنسبة لهذه المعادلة، وبعد التعميل تصبح صيغة المعادلة هي: (x+2)(x²-2x+2)=0

لنأخذ المعادلة من الدرجة الثانية: x²-2x+2=0 لدينا =(-2)²-4.1.2=4-8=-4∆ لكي نتمكن من تحديد الجذرين الآخرين يجب أن نتمكن من تحديد الجذر المربع للعدد 4-. وهذا مستحيل في R مجموعة الأعداد الحقيقية.

ما هو أصل الأعداد العقدية إذن؟ يعود ظهور الأعداد العقدية إلى محاولة بعض الرياضيين، مثل الإيطاليين كاردان وطارغاليا وبومبيلي، حل معادلات من الدرجة الثالثة والرابعة. معادلات الدرجة الثالثة:

كيف يمكن حل مثل هذه المعادلات؟ أول ملاحظة: العدد a غير منعدم, وإلا أصبحت المعادلة من الدرجة الثانية، إذن a≠0؛ بوضعنا تصبح صيغة المعادلة على الشكل: حيث و

حل المعادلة: نضع u+v = x ؛ بما أن: (u+v)3=u3+3u²v+3uv²+v3 المعادلة أعلاه تصبح: u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + p( u + v ) + q = 0 أي : u³ + v³ + ( 3uv + p )( u + v ) +q = 0

أي أن: uv = -p/3 وَ u3+v3 = -q u3v3 = -p3/27 ونحصل على النظمة التالية: S لدينا عددين معلوم مجموعهما وجداؤهما، فهما جذري المعادلة من الدرجة الثانية التالية: t ²-(-q)t+(-p3/27)=0 أي: t²+qt-p3/27=0

لنطبق هذه الطريقة على الأمثلة التي درسنا سابقا المثال الأول: x3-7x+6=0 المعادلة المساعدة هي: t²+6t-(-7)3/27=0 t²+6t+343/27=0

هذا تناقض، لأنه من المفروض أن نحصل على نفس عدد الجذور بالطريقتين. هذه المعادلة المساعدة تقبل كمميز العدد: ∆’= (3)² -343/27 = 9-343/7 = -100/27 هذه المعادلة لا تقبل أي جذر حقيقي، علما أن المعادلة الأصلية تقبل ثلاثة جذور حقيقية، أين ذهبت إذن الجذور الحقيقية لهذه المعادلة؟ هذا تناقض، لأنه من المفروض أن نحصل على نفس عدد الجذور بالطريقتين. من جهة لدينا معادلة من الدرجة الثالثة تقبل ثلاثة جذور؛ ومن جهة أخرى لدينا معادلة مساعدة لا تقبل أي جذر حقيقي. هذا التناقض هو الذي أدى إلى ظهور الأعداد العقدية؟

و جذور المعادلة هي: إذا لم نعر كبير اهتمام للعبارة وإذا قمنا بإنجاز عملية حساب قيمة العدد u فسوف نحصل على الأعداد التالية: و

أين ذهبت الجذور الحقيقية؟ بعد تحديد القيم المناسبة لِ v وبعد إنجاز المجموع u+v في كل حالة نحصل على القيم 3 وَ1- وَ2-.

بالنسبة للمثال الثاني المعادلة هي: x3-3x+2=0 p=-3 وَ q=2 المعادلة المساعدة هي: t²+2t-(-3)3/27=0 أي t²+2t+1=0=(t+1)²

أي أن u=v=-1 (1- جذر مزدوج للمعادلة المساعدة) x=u+v=-2 أين الجذر المزدوج 1؟ أمر عجيب نفس الملاحظة: هذا التناقض كان وراء اكتشاف الأعداد العقدية.

المثال الثالث صيغة المعادلة الأصلية هي: x3-2x+4=0 المعادلة المساعدة هي: t²+4t+(2)3/27=0 المميز هو: ∆’=4-8/27=100/27

جذرا المعادلة هما: بعد حساب الجذور المكعبة نحصل على

المراجع المعتمدة Jean Dhombre et Al. (1987). « Mathématiques au fil des ages ». IREM.Groupe epistemologique. Bordas. Paris Dahan– Dalmedico / J.Peiffer. (1986). « Une histoire des mathématique, route et dédales » ;  Editions du Seuil. Dedron P. et J.Itard ; (1959) « Mathématiques et mathématiciens » ; Editions  Magnard 

Dahan– Dalmedico / J. Peiffer. (1986) Dahan– Dalmedico / J.Peiffer. (1986). « Une histoire des mathématique, route et dédales » ;  Editions du Seuil. Dedron P. et J.Itard ; (1959) « Mathématiques et mathématiciens » ; Editions  Magnard 

شكرا