Recherche de chemins de coût minimal avec l’algorithme A Recherche de chemins de coût minimal avec l’algorithme A* Mise en œuvre pratique Olivier NOCENT IUT de Reims-Châlons-Charleville rue des crayères, BP 1035 51687 Reims Cedex 2

Introduction Objectif : Déterminer, pour un agent* donné, un chemin de coût minimum depuis un sommet source vers un sommet destination au sein d’un graphe orienté. Un agent est un objet informatique autonome utilisé pour représenter une entité mobile dotée d’un comportement (humain, animal, véhicule, …)

Applications Jeux vidéo Simulation – vie artificielle Animation des personnages non joueurs (RPG, FPS) Déplacement réaliste d’un personnage contrôlé par le joueur vers un objectif désigné par le joueur (RTS) Simulation – vie artificielle Etude du comportement d’une foule, du traffic automobile, … Effets spéciaux (scènes de bataille, …)

Représentation du graphe à partir d’informations topographiques

Relations d’adjacence : grille carrée Prairie Pont Rivière

Relations d’adjacence : grille hexagonale Prairie Pont Rivière

Relations d’adjacence : points visibles Obstacles Couloirs

Coût des arcs Signification du coût d’un arc : Distance kilométrique Recherche de chemins de longueur minimale Temps (nécessaire au franchissement de l’arc) Recherche de chemins en temps minimum Consommation de carburant Rechercher de chemins « économes »

Coût des arcs : grille carrée 10 10 10 10

Coût des arcs : grille hexagonale 10 Triangle équilatéral

Coût des arcs : pondération en fonction de la nature de l’environnement 10 40 80 Prairie Montagne

Coût des arcs : pondération en fonction de la nature de l’agent Coût du franchissement d’un pont C = 10 pour un humain. C = 50 pour une voiture. C = 500 pour un semi-remorque. C C

Algorithme A*

Principe général : évaluation du coût total d’un sommet Coût total (F) = Coût depuis la source (G) + Coût vers la destination (H) G : Coût depuis la source Algorithmes classiques (Ford, Bellman, Dijkstra) Gi = min Gj + Cij / i prédecesseur de j Cij coût de l’arc (i,j) H : Coût vers la destination Difficile puisque le reste du chemin (vers la destination) est encore inconnu.

Coût vers la destination Pourquoi évaluer un coût vers la destination ? Afin de resserrer l’ensemble des sommets à explorer en privilégiant les sommets « qui semblent » nous rapprocher de la destination. Remarque Dans le cas d’un algorithme de recherche plus classique (Dijsktra), on effectue une recherche exhaustive parmi TOUS les sommets. Conséquence l’algorithme A* est plus performant que n’importe quel autre algorithme puisqu’il diminue l’ensemble des sommets à explorer.

Coût vers la destination Comment évaluer un coût vers la destination ? En utilisant des heuristiques (prédictions) afin d’évaluer un coût vers la destination INFERIEUR au coût réel (encore inconnu). A ce titre, A* est un algorithme optimiste. Remarque Si l’heuristique était supérieur au coût réel, on risquerait de générer un chemin qui ne soit pas minimal.

Distance euclidienne Théorème de Pythagore H 2 = (Coté oppose) 2 + (Coté adjacent) 2 H 2 = 40 2 + 20 2 = 2000 H = 20 x (5) 1/2 S 40 H 20 D

Distance de Manhattan Nombre de cellules, en horizontal et en vertical entre la source et la destination. Plus conforme à la nature des déplacements autorisés (haut, bas, gauche, droite) S D

Algorithme A* Initialisation Sommet source (S) Sommet destination (D) Liste des sommets à explorer (E) : sommet source S Liste des sommets visités (V) : vide Tant que (la liste E est non vide) et (D n’est pas dans E) Faire + Récupérer le sommet X de coût total F minimum. + Ajouter X à la liste V + Ajouter les successeurs de X (non déjà visités) à la liste E en évaluant leur coût total F et en identifiant leur prédécesseur. + Si (un successeur est déjà présent dans E) et (nouveau coût est inférieur à l’ancien) Alors Changer son coût total Changer son prédécesseur FinSi FinFaire

Exemple 1 S Sommet source D Sommet destination D Obstacle S

Exemple 1 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 10 + 30 Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S G + H 10 + 50 Référence au prédécesseur

Exemple 1 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 20 + 40 10 + 30 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S G + H 10 + 50 Référence au prédécesseur

Exemple 1 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 20 + 40 10 + 30 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S G + H 20 + 60 10 + 50 Référence au prédécesseur

Exemple 1 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 20 + 40 10 + 30 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S G + H 20 + 60 10 + 50 20 + 60 Référence au prédécesseur

Exemple 1 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 Sommet déjà visité Sommet à explorer 20 + 40 10 + 30 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S G + H 20 + 60 10 + 50 20 + 60 Référence au prédécesseur

Exemple 1 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 30 + 30 Sommet déjà visité Sommet à explorer 20 + 40 10 + 30 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S G + H 20 + 60 10 + 50 20 + 60 Référence au prédécesseur

Exemple 1 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 30 + 30 40 + 20 Sommet déjà visité Sommet à explorer 20 + 40 10 + 30 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S G + H 20 + 60 10 + 50 20 + 60 Référence au prédécesseur

Exemple 1 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 30 + 30 40 + 20 50 + 10 Sommet déjà visité Sommet à explorer 20 + 40 10 + 30 D 50 + 10 Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S G + H 20 + 60 10 + 50 20 + 60 Référence au prédécesseur

Exemple 1 S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 30 + 30 40 + 20 50 + 10 Sommet déjà visité Sommet à explorer 20 + 40 10 + 30 60 + 0 50 + 10 Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 60 + 20 G + H 20 + 60 10 + 50 20 + 60 Référence au prédécesseur

Exemple 1 D S

Exemple 2 S Sommet source D Sommet destination D Obstacle S

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H Référence au prédécesseur

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H Référence au prédécesseur

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 20 + 40 Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H 20 + 60 Référence au prédécesseur

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H 20 + 60 Référence au prédécesseur

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H 20 + 60 Référence au prédécesseur

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H 20 + 60 30 + 70 Référence au prédécesseur

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H 20 + 60 40 + 60 30 + 70 Référence au prédécesseur 40 + 80

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H 20 + 60 40 + 60 50 + 50 30 + 70 Référence au prédécesseur 40 + 80 50 + 70

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H 20 + 60 40 + 60 50 + 50 60 + 40 30 + 70 Référence au prédécesseur 40 + 80 50 + 70 60 + 60

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H 20 + 60 40 + 60 50 + 50 60 + 40 70 + 30 30 + 70 Référence au prédécesseur 40 + 80 50 + 70 60 + 60 70 + 50

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 G + H 80 + 20 20 + 60 40 + 60 50 + 50 60 + 40 70 + 30 30 + 70 Référence au prédécesseur 40 + 80 50 + 70 60 + 60 70 + 50 80 + 40

Exemple 2 D S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 D Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 90 + 10 G + H 80 + 20 20 + 60 40 + 60 50 + 50 60 + 40 70 + 30 30 + 70 Référence au prédécesseur 40 + 80 50 + 70 60 + 60 70 + 50 80 + 40

Exemple 2 S G + H Sommet déjà visité Sommet à explorer 30 + 50 20 + 40 100 + 0 Coût depuis la source Coût vers la destination 10 + 50 S 10 + 30 90 + 10 G + H 80 + 20 20 + 60 40 + 60 50 + 50 60 + 40 70 + 30 30 + 70 Référence au prédécesseur 40 + 80 50 + 70 60 + 60 70 + 50 80 + 40

Exemple 2 D S

Structure des données : détail d’implémentation Initialisation Sommet source (S) Sommet destination (D) Liste des sommets à explorer (E) : sommet source S Liste des sommets visités (V) : vide Tant que (la liste E est non vide) et (D n’est pas dans E) Faire + Récupérer le sommet X de coût total F minimum. + Ajouter X à la liste V + Ajouter les successeurs de X (non déjà visités) à la liste E en évaluant leur coût total F et en identifiant leur prédécesseur. + Si (un successeur est déjà présent dans E) et (nouveau coût est inférieur à l’ancien) Alors Changer son coût total Changer son prédécesseur FinSi FinFaire

Structure des données : détail d’implémentation Nécessité de mettre en œuvre un conteneur permettant de : Récupérer un élément de coût total minimum. Insérer un nouvel élément et trier le conteneur. Mettre à jour le coût total d’un élément déjà présent dans le conteneur. Déterminer si le conteneur est vide.

Solution « élégante » : files Template <class T> class std::queue { public: … bool empty(); T pop() {return pop_front();} void push(T t) { push_back(t);} }; t push(t) pop()

Solution « élégante » : files à priorité Le type T doit surcharger l’opérateur de comparaison < Template <class T> class std::priority_queue { public: … bool empty(); T pop() {return pop_front();} void push(T t) { /*insertion triée*/ } }; t push(t) pop()

Insertion triée « efficace » Utilisation d’un arbre binaire d’éléments Le fils gauche est strictement inférieur au nœud courant. Le fils droit est supérieur ou égal au nœud courant. 5 3 12 1 4 7 20 15 25

Structure des données : std::priority_queue Nécessité de mettre en œuvre un conteneur permettant de : Récupérer un élément de coût total minimum : OUI Insérer un nouvel élément et trier le conteneur : OUI Mettre à jour le coût total d’un élément déjà présent dans le conteneur : NON Déterminer si le conteneur est vide : OUI

Structure de données personnalisée : MyPriorityQueue template<class T> class MyPriorityQueue { public : T pop(); void push(); private: std::vector<T> heap; };

Structure de données personnalisée : MyPriorityQueue template<class T> T MyPriorityQueue::pop() { // L’élément le plus grand est au début // du conteneur heap : position 0. T value = heap.front(); // 1. Déplace le premier élément à la position N-1. // 2. Trie les éléments de la position 0 à N-2 std::pop_heap(heap.begin(), heap.end(), Inf()); // Supprime l’élément en position N-1 // c’est à dire, l’ancien premier. heap.pop_back(); return value; }

Structure de données personnalisée : MyPriorityQueue template<class T> T MyPriorityQueue::push(T value) { // Ajout de la valeur en queue du conteneur // position N. heap.push_back(value); // Trie les éléments de la position 0 à N. std::push_heap(heap.begin(), heap.end(), Inf()); return value; }

Un peu de lecture Game Programming Gems 1 by Mark de DeLoura (Charles River Media ) August, 2000 http://www.gamedev.net http://www.gamasutra.com