ELG3575 4. Propriétés des signaux à énergie et à puissance et la transformée de Hilbert

Signaux à énergie Si x(t) est un signal à énergie avec énergie moyenne normalisée Ex : y(t) = x(t)×Ae-j2pfot est aussi un signal à énergie avec Ey = A2Ex ; z(t) = x(t)×Acos2pfot est aussi un signal à énergie avec Ez = (A2/2)Ex ; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)) Y(f) = AX(f-fo). Donc Gy(f) = |Y(f)|2 = |AX(f-fo)|2 = A2Gx(f-fo). Ey est donnée par :

Signaux à énergie Remplaçons f-fo par f’ et on obtient : Pour z(t) = x(t)×Acos2pfot , il faut noter que z(t) peut être exprimé par:

Signaux à puissance De la même façon, nous pouvons démontrer que si x(t) est un signal à puissance ave puissance moyenne normalisée Px : y(t) = Ax(t)e-j2pfot est aussi un signal à puissance avec Py = A2Px ; z(t) = x(t)×Acos2pfot est aussi un signal à puissance avec Pz = (A2/2)Px ; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)).

Symétrie de la fonction d’autocorrélation Si x(t) est un signal à valeur réelle, sa fonction d’autocorrélation est une fonction paire. Supposons que x(t) est un signal à énergie et que x(t) = x*(t), jx(-t) est donnée par : Remplaçons t-t par t’ et on obtient : De la même façon nous pouvons démontrer que Rx(t) = Rx(-t) si x(t) est un signal à valeur réelle.

Symétrie de la densité spectrale Si x(t) est un signal à valeur réelle, sa densité spectrale est une fonction paire. Nous savons que sa fonction d’autocorrélation est une fonction paire. Sa densité spectrale est la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation. La transformée de Fourier d’une fonction paire est toujours une fonction à valeur réelle paire.

Symétrie de la densité spectrale Supposons que x(t) est un signal à puissance réel avec fonction d’autocorrélation Rx(t). Sa densité spectrale de puissance est : Remplaçons t par -u et on obtient

Multiplication par cos(2pfot) Supposons que x(t) est un signal à énergie et que y(t) = Ax(t)cos(2pfot) (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)). La fonction d’autocorrélation de y(t) est :

Multiplication par cos(2pfot) Similairement, si x(t) est un signal à puissance, la fonction d’autocorrélation de y(t) = Ax(t)cos(2pfot) est : (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)). Alors Gy(f) = (A2/4)Gx(f-fo)+(A2/4)Gx(f+fo) si x(t) est un signal d’énergie et Sy(f)= (A2/4)Sx(f-fo)+(A2/4)Sx(f+fo) si x(t) est un signal de puissance.

Réseaux transformateurs de phase et la transformée de Hilbert Un signal x(t) est l’entrée d’un réseau transformateur de phase. La sortie est le signal d’entrée déphasée par une constante q. Supposons que x0(t) = Acos(2pf0t) est l’entrée a ce réseau. La sortie y0(t) = Acos(2pf0t+q). Si nous changeons la fréquence de l’entrée, c'est-à-dire que l’entrée devient x1(t) = Acos(2pf1t), la sortie est y1(t) = Acos(2pf1t+q). Alors le montant de déphasage est indépendant de la fréquence.

Réponse en fréquence du réseau transformateur de phase Pour x(t) = Acos(2pf0t), X(f) = . La sortie y(t) = Acos(2pf0t+q) a une transformée de Fourier Y(f) = . La réponse en fréquence du réseau transformateur de phase est :

La transformée de Hilbert La transformée de Hilbert est un transformateur de phase où q = -90o. Pour un signal x(t), sa transformée de Hilbert xh(t) est x(t) déphasée par -90o (-p/2 radians). La transformée de Fourier du signal xh(t) est Xh(f) qui est donnée par :

La transformée de Hilbert La transformée de Hilbert est donnée par : xh(t) = F{-jsgn(f)X(f)} = x(t)*1/pt

Exemples Trouvez la transformée de Hilbert de x(t) = Acos(2pfot) et y(t) = sinc(t) SOLUTION (a) alors La transformée de Hilbert de x(t) est alors xh(t) =F-1{Xh(f)} = Asin(2pfot).

Exemples Yh(f) j f -j SOLUTION (b) Y(f) = P(f). La transformée de Fourier de la transformée de Hilbert de y(t) est Yh(f) = -jsgn(f)P(f). -jsgn(f)P(f) = -jP(2(f-¼)) + jP(2(f+¼)), alors yh(t) = Yh(f) j 0.5 f -0.5 -j