Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Les graphes (1) Semaine 6 Édition Septembre 2009 Département d’informatique et de génie logiciel

Plan Introduction Nomenclature des graphes Matrice de connectivité Clôture transitive: algorithme de Warshall Plus court chemin: algorithme de Floyd 1 2 5 4 3

Fermeture transitive des graphes Définition Soit G un graphe orienté de n noeuds. Soit A la matrice de nœuds adjacents correspondant. Complexité ? Soit Bn-1 = A + A2 + A3 … + An-1 Bn-1  P : matrice de booléens qui indique s’il existe un chemin entre toutes paires de nœuds la matrice P est appelée fermeture ou clôture transitive du graphe G (dans notre cas, on a une clôture par produits de matrices).

H : la fermeture transitive de A. Fermeture transitive des graphes Exemple graphe G graphe H 1 2 3 4 1 2 3 4 H : la fermeture transitive de A.

Algorithme deWarshall 1  0 1 0 1   0 0 1 0   0 1 0 1   1 1 0 0  2 P0 = 1 2  0 1 0 1   0 0 1 0   0 1 0 1   1 1 0 1 4 3 P1 = 1 2 4 3  0 1 1 1   0 0 1 0   0 1 1 1   1 1 1 1  P2 = 4 1 3 2  0 1 1 1   0 1 1 1   1 1 1 1  P3 = 4 1 3 2  1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1  P4 = 4 3

Algorithme de Warshall {Soit A, un graphe orienté} 1. [Initialisation] P  A 2. [Boucle sur tous les sommets intermédiaires] Pour k = 1, 2, ..., n répéter jusqu'à l'étape 4. 3. [Boucle sur les sommets de départ] Pour i = 1, 2, ..., n répéter l'étape 4. 4. [Boucle sur les sommets adjacents] Pour j = 1, 2, ..., n répéter Pij  Pij ou (Pik et Pkj) 5. [Fin de l'algorithme] Stop Complexité ?

Algorithme de Floyd 1 2 4 3   1  1     1     1  1  P0 =   1  1     1     1  1   1 1    P0 = 1 2   1  1     1    1  1  1 1  2 P1 =   1 2 1     1     1 2 1   1 1 2 2  4 3 P2 = pour k = 1 à n faire pour i = 1 à n faire pour j = 1 à n faire C [i, j] ¬ MIN { C [i, j] , C [i, k] + C [k, j] } ;   1 2 1    2 1 2    1 2 1   1 1 2 2  P3 =  2 1 2 1   3 2 1 2   2 1 2 1   1 1 2 2  P4 =

Algorithme de Floyd Complexité ? Algorithme de Floyd {Soit A, un graphe orienté.} 1. [Initialisation] C  A 2. [Boucle sur les sommets intermédiaires] Pour k = 1, 2, ..., n répéter jusqu'à l'étape 4. 3. [Boucle sur les sommets de départ] Pour i = 1, 2, ..., n répéter l'étape 4. 4. [Boucle sur les sommets adjacents] Pour j = 1, 2, ..., n répéter Cij  MIN (Cij , Cik + Ckj) 5. [Fin de l'algorithme] Stop Complexité ?

Algorithme de Floyd et les distances  0 1  8    0 4     7 0 9   0 2  0  C0 = W = 1 9 2 4 7 8 1 2  0 1  8    0 4     7 0 9   0 1  0  C1 = 4 3  0 1 5 8    0 4     7 0 9   0 1 5 0  C2 = Matrice des poids : W [i,j] = 0 si i = j v((i,j)) si (i, j)  A  sinon  0 1 5 8    0 4 13    7 0 9   0 1 5 0  C3 =  0 1 5 8   13 0 4 13   9 7 0 9   0 1 5 0  C4 =

Algorithme de Floyd et les chemins  0 1  8    0 4     7 0 9   0 2  0   - 1 - 1   - - 2 -   - 3 - 3   4 4 - -  C0 = W = P0 = 1 9 2 4 7 8 1 2  0 1  8    0 4     7 0 9   0 1  0   - 1 - 1   - - 2 -   - 3 - 3   4 1 - -  C1 = P1 = 4 3  0 1 5 8    0 4     7 0 9   0 1 5 0   - 1 2 1   - - 2 -   - 3 - 3   4 1 2 -  C2 = P2 = Matrice des prédécesseurs Pk [i, j] = prédécesseur de j sur un plus court chemin de i à j dont les sommets intermédiaires sont tous  k  0 1 5 8    0 4 13    7 0 9   0 1 5 0   - 1 2 1   - - 2 3   - 3 - 3   4 1 2 -  C3 = P3 =  0 1 5 8   13 0 4 13   9 7 0 9   0 1 5 0   - 1 2 1   4 - 2 3   4 3 - 3   4 1 2 -  C4 = P4 =

Algorithme de Floyd 1 2 4 3  0 1 5 8   13 0 4 13   9 7 0 9  7 8 1 2  0 1 5 8   13 0 4 13   9 7 0 9   0 1 5 0   - 1 2 1   4 - 2 3   4 3 - 3   0 1 2 -  C4 = P4 = 4 3 Exemple de chemin distance de 2 à 1 = C4[2,1] = 13 P4[2,1] = 4 ; P4[2,4] = 3 ; P4[2,3] = 2 ; 2 3 4 9 1

Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Les graphes (2) Semaine 6 Édition Septembre 2009 Département d’informatique et de génie logiciel

Plan Parcours d’un graphe par contagion (ou largeur) Parcours d’un graphe par sondage (ou profondeur) Description d’un graphe en terme de type abstrait Implantation 4 2 5 3 1

Défilement d’un graphe opération importante  visite d’un graphe problème : éviter les circuits !!! solution : marquer les nœuds (Petit-Poucet) 4 2 5 3 1 x x x

Marquer les nœuds (Petit-Poucet) De nombreux algorithmes relatifs aux graphes nécessitent une procédure qui permet l'examen systématique des noeuds et des arêtes (arcs) d'un graphe G donné. La procédure consiste à classer les sommets en 3 catégories: La catégorie A des sommets déjà visités. La catégorie B des sommets adjacents à ceux de la catégorie A mais pas encore visités (sommets qui peuvent être atteints). La catégorie C des sommets invisibles qui n'ont pas encore été rencontrés du tout (qui ne peuvent pas être atteints depuis un sommet déjà visité).

Marquer les nœuds (Petit-Poucet) Les différentes variantes de parcours dépendront de la manière dont on fait passer les sommets de la catégorie C à la catégorie B et de la B dans la A. On construit l'état initial en plaçant le sommet de départ dans la catégorie B et tous les autres dans la catégorie C. On répète alors : faire passer un sommet x de la catégorie B à la catégorie A; mettre dans la catégorie B tous les sommets de catégorie C adjacents à x. Il existe deux manières standard d'exécuter ces opérations: Parcours par contagion ou par largeur Breadth-First Search ou BFS Parcours par sondage ou en profondeur(Depth-First Search ou DFS)

Marquer les nœuds (Petit-Poucet) Au cours de l'exécution de nos algorithmes, chaque noeud N de G sera dans l'un des trois états suivants : STATUS = 1  : (Prêt) État initial du noeud N STATUS = 2  : (Attente) Le noeud N est soit empilé, soit dans la file d'attente, en attente d'être traité. STATUS = 3  : (Traité) Le noeud N a été traité. Noter qu’au lieu de marquer les nœuds par 1, 2 ou 3, peut simplement le faire en utilisant un booléen: vrai : le nœud est soit traité soit en attente d’être traité (status =1 ou 2) Faux: le nœud n’a pas été parcouru (status = 1)

Défilement d’un graphe Exemple

Spécifications de l’interface du type Graphe Description en termes de types abstraits 1. ajouter un sommet à un graphe 2. ajouter un arc/arête à un graphe 3. ôter un sommet du graphe et tous les arcs/arêtes associés 4. ôter un arc/arête 5. permettre l'accès à un sommet nommé (désigné) 6. indiquer si un sommet n'a pas de voisins 7. parcourir les voisins d'un sommet (parcours) 8. voir si un chemin existe entre 2 sommets trouver le chemin le plus court (# arêtes/arcs, distance) 10. trouver tous les chemins entre 2 sommets Etc..

Implantation Il existe deux principales méthodes de modélisation des graphes en tant que type abstrait: les matrices et les listes dites de connectivité ou d'adjacence. Le choix entre elles se fera en fonction de la densité du graphe. Par densité, on entend la proportion d'arcs effectifs par rapport au nombre maximum d'arcs ou d’arêtes possibles: NbArcs / NbSommets2 dans le cas de graphe orienté. NbAretes / (NbSommets(NbSommets-1)/2) dans le cas d’un graphe non orienté

Interface class Arete { public: int u; int v; Arete(int u, int v) {this->u = u; this->v = v; } Interface template <typename T> class Graphe { public: /** Constructeur (graphe vide)*/ Graphe(); /** Constructeur à partir des sommets et arcs/arêtes*/ Graphe(vector<T> sommets, vector<Arete> aretes); Graphe (const Graphe&); Graphe(const Graphe&g,vector<T>sommets); ~Graphe (); Graphe& operator = (const Graphe&); void ajouterSommet(T s); void ajouterArc (T s1, T S2); void enleverArc (T s1, T s2); void enleverSommet ( T s); bool sommetExiste(T s) const; int nbSommets() const; // etc... private: //… class Sommet { public: …getData(); void setData(..); //etc.. private: … data; int no; int tag; bool pres; }

Implantation dans une matrice d’adjacence Classe Graphe Implantation dans une matrice d’adjacence template <typename T> class Graphe { public: //.. private: int nbSommets; T* sommets; int **mat; //implémentation dans une matrice } // de sommets adjacents 1 2 5 4 3 Cas d’un graphe orienté

Implantation dans une matrice d’adjacence Classe Graphe Implantation dans une matrice d’adjacence template <typename T> class Graphe { public: //.. private: int nbSommets; T* sommets; int **mat; // trop de perte mémoire!! } 1 2 5 4 3 Cas d’un graphe non orienté Linéariser la matrice

Implantation dans une matrice d’adjacence Classe Graphe 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 Implantation dans une matrice d’adjacence 4 1 1 template <typename T> class Graphe { public: //.. private: int nbSommets; T* sommets; int *mat; // tableau à une dimension } 1 2 5 4 3 Cas d’un graphe non orienté ( i + 1 ) * i / 2 + j 1 1 1 1 1 1

Implantation dans une matrice d’adjacence Classe Graphe Implantation dans une matrice d’adjacence template <typename T> class Graphe { public: //.. private: vector<T> sommets; // Les sommets vector< vector<int> > voisins; // Les sommets adjacents } Utilisation de vector de la STL

Implantation dans une liste de sommets adjacents 1 2 3 Classe Graphe Implantation dans une liste de sommets adjacents template <typename T> class Graphe { public: //.. private: class Noeud { public: T data; /* au lieu de T data, on peut avoir T* ou int*/ Noeud * suivant; /* chaînage des sommets adjacents */ }; /* le noeud typique du graphe */ int nbSommet; /* nombre de sommets dans le graphe */ int nbSommetMax; /* nombre total possible de sommets */ T * sommet; /* tableau représentant les sommets*/ Noeud** listeSommet; /* les listes de sommets adjacents*/ } 1 1 3 2 2 1 3 2

Implantation dans une liste de sommets adjacents Classe Graphe Implantation dans une liste de sommets adjacents template <typename T> class Graphe { public: //.. private: class Noeud { public: T data; //données // dans un sommet list<int> voisins; }; vector<Noeud> listeSommets; } Utilisation de vector et list de la STL

Classe Graphe Implantation dans une liste de sommets adjacents Cas d’un graphe non orienté La liste des sommets adjacents soufre de la même redondance que nous avons rencontrer avec les matrices de sommets adjacents. Une solution plus efficace utilisation de listes d’arêtes Elle consiste à lier les arêtes un lien pour chaque arête vers les 2 sommets délimitant l’arête.

Cas d’un graphe non orienté Classe Graphe Cas d’un graphe non orienté template <typename T> class Graphe { public: //.. private: class AreteNode { public: int sommet[3]; AreteNode * lien[3]; }; typedef AreteNode * AretePtr; class Noeud T data; AretePtr first; vector<Noeud> listeSommets; } Liste des arêtes