1 Physique des ondes 12/01/2019 Physique des ondes I

1 1er SEMESTRE M. Bouguechal / Lekic Objet du cours / TD Heures 1 – 4 Oscillateurs harmoniques : Rappel . Définition. Analogie électrique. 4 – 18 Oscillateurs harmoniques couplés : Mouvement libre sans frottement. Modes propres. Battements. Résonances. Analogies électriques. Couplage capacitif. Couplage inductif. 18– 22 Equation d’onde de d’Alembert : Chaines infinies d’oscillateurs. Approximation du milieu continu. Corde vibrante. Solutions de l’équation de d’Alembert. Oscillations libres d’une corde fixée à ses extrémités : modes propres. Oscillations forcées d’une corde fixée à une extrémité. 22 – 24 Ondes acoustiques dans les fluides : Ondes de pression dans une colonne Aspects énergétiques Ondes planes stationnaires Réflexion-transmission. M. Bouguechal / Lekic 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Richard / ….. 2ème SEMESTRE 24-34 Ondes électromagnétiques dans le vide Outils mathématiques de la théorie des champs Les équations de Maxwell Régimes statiques Généralisations aux régimes dépendants du temps Etude des potentiels Energie électromagnétique Equation de propagation des champs. 34-38 Dispersion et absorption 38-48 Application aux ondes lumineuses Polarisation-Interférences-Diffraction. Richard / ….. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 I. Oscillateurs harmoniques. I.1 Rappel et définition. I.2 Analogie électrique. I.3 Oscillations forcées. 12/01/2019 Physique des ondes I

I.1 Rappel et définition. 1 Une onde se définit comme une déformation qui se propage dans le vide ou dans un milieu contenant de la matière. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Les ondes qui ne se propagent que dans de la matière sont appelées: ondes mécaniques. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Les ondes qui peuvent se propager dans le vide sont les ondes électromagnétiques comme la lumière. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Les ondes mécaniques requièrent un milieu qui peut être perturbé Onde décrite par les équations de Newton Les ondes électromagnétiques ne requièrent pas de milieu et peuvent se propager dans le vide. Onde décrite par les équations de Maxwell Toutes les ondes transportent de l’énergie (le milieu ne se déplace pas avec l’onde) 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Il existe deux sortes d’ondes: Les ondes transversales Les ondes longitudinales 12/01/2019 Physique des ondes I

Les ondes transversales 1 Les ondes transversales 12/01/2019 Physique des ondes I

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Les ondes longitudinales 1 Les ondes longitudinales Dans une onde longitudinale, le déplacement des particules a la même direction que la vitesse de l’onde; Onde sonore Onde longitudinale le long d’un ressort tendu 12/01/2019 Physique des ondes I

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1 Rappel sur l’oscillateur harmonique 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre ( équation homogène). 12/01/2019 Physique des ondes I

1 La solution générale de cette équation différentielle est donnée par : ou ou A chaque fois et quelque soit la solution choisie, on a deux constantes à déterminer : A et φ ou A et B. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Une autre solution, dans l’ensemble des complexes, très utilisée car elle facilite les calculs : 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Elongation à l’instant t, c’est une longueur. Phase à l’instant t, pas de dimension mais attention unité : radian (S.I) Phase à l'origine des temps à t = 0, pas de dimension mais unité ∶ radian (S.I)   Amplitude ; c’est aussi une longueur 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Pulsation propre, c’est des rad/s ; Période propre du système Fréquence propre du système 12/01/2019 Physique des ondes I

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1 La solution peut être représentée par un vecteur dont la longueur est égale à l’amplitude A et qui tourne autour de l’origine O à la vitesse angulaire ω0 cette représentation est appelée représentation de Fresnel. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Représentation de Fresnel M(t) ω t + φ φ M(0) A x 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Oscillations longitudinales Considérons une masse m et deux ressorts identiques de constante de raideur k, de même longueur l0 à vide et de masse négligeable. a > 0 x On accroche les deux ressorts à la masse m, on a un équilibre, car les forces se compensent. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 A partir de la position d’équilibre précédente, on tire la masse m jusqu’ à une certaine position et on la lâche sans vitesse initiale. x x On peut alors établir l’équation différentielle du mouvement quand la masse se trouve à une position quelconque d’abscisse x. D’après la figure, la masse m est alors soumise à deux forces de même direction, de même sens et de même norme. 12/01/2019 Physique des ondes I

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1 Les oscillations de la masse m se font dans la même direction que la propagation de l’énergie, on parle d’oscillations longitudinales. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Oscillations transversales y k m x l0 l0 Considérons deux ressorts identiques, de longueurs à vide l0 et une masse m, figure ci-dessus ( vue d’en haut ) et au lieu de tirer la masse m suivant l’axe x, on la tire suivant un axe perpendiculaire y. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 y y l l y θ θ x l0 l0 Les deux vecteurs force de rappel s’écrivent alors pour chaque ressort : 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Il n’y a pas de mouvement le long de x. Sur l’axe des y on obtient : La longueur l dépend de y, et l’équation différentielle n’est pas linéaire, ce n’est donc pas un oscillateur linéaire. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Si on suppose on obtient alors une équation différentielle d’un oscillateur harmonique : 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Les oscillations de la masse m se font dans une direction perpendiculaire à la propagation de l’énergie, on parle d’oscillations longitudinales. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 La bobine représente l’inertie et donc la masse et le condensateur le ressort, les deux représentent des accumulateurs d’énergie. L C m k 12/01/2019 Physique des ondes I

I.2 Analogie électrique. 1 L C m k 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Oscillations harmoniques à deux dimensions On considère une masse m libre de se déplacer dans le plan xy. k2 k1 k1 x y k2 Elle est fixée à deux ressorts de même constante de raideur k1 sur l’axe des x et par deux autres ressorts de même constante de raideur k2 sur l’axe y. On déplace la masse m de coordonnées (0,0) en un point de coordonnées (x,y) et on supposera que l’on des oscillations de faible amplitude. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 On obtient deux mouvements découplés : On dit que l’on a deux modes d’oscillation car on a deux pulsations différentes. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 On dit que l’on a deux modes d’oscillation car on a deux pulsations différentes. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 I.3 Oscillations forcées. Dans le cas d’un oscillateur harmonique simple avec frottement visqueux, soumis à une force extérieure de pulsation Ω, l’équation différentielle s’écrit : Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre. Formule valable dans le cas où les frottements sont faibles. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Résolution de l’équation différentielle : Soit x est la solution de cette équation différentielle. Solution de l’équation différentielle sans second membre. Solution particulière de l’équation avec second membre. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Pour x1 Equation caractéristique : Régime apériodique. Régime critique. Régime pseudopériodique. Les 3 régimes tendent vers 0 quand t → ∞, on dit alors que l’on a une phase ou un régime transitoire. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 La solution du régime permanent de l’équation différentielle avec second membre est : . On cherche une solution particulière de la forme : On passe dans l’ensemble des complexes et on associe à le complexe 12/01/2019 Physique des ondes I

1 L’équation différentielle dans l’ensemble des complexes s’écrit : 12/01/2019 Physique des ondes I

1 On obtient une égalité entre deux nombres complexes, on en déduit : Egalité des modules des deux complexes : Egalité des arguments des deux complexes : 12/01/2019 Physique des ondes I

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Etudions la variation de l’amplitude A et du déphasage en fonction de 1 . ne dépend pas du frottement Cherchons le maximum de 12/01/2019 Physique des ondes I

1 est maximum si son dénominateur est minimum. Il faut donc dériver le dénominateur par rapport à . 12/01/2019 Physique des ondes I

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1 Résonance : Elle est obtenue pour 12/01/2019 Physique des ondes I

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1 Un résonateur est caractérisé par sa bande passante à 3 décibels (3 dB). La bande passante à 3 dB est l’ensemble des fréquences pour lesquelles l’amplitude est supérieure à l’amplitude à la résonance divisée par 12/01/2019 Physique des ondes I

1 On montre que : 12/01/2019 Physique des ondes I

1 On appelle facteur de qualité de l’oscillateur : Le facteur de qualité permet donc de quantifier la qualité d'un filtre quelle que soit sa nature : électronique, acoustique, optique... C’est un nombre sans dimension qui mesure le taux d'amortissement d'un oscillateur. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est petite, et plus la résonance est aigue. Plus la valeur de Q est élevée, plus le filtre est sélectif. 12/01/2019 Physique des ondes I

1 Le facteur de qualité Q peut aussi être introduit à partir de l'équation différentielle qui régit l'évolution du système. 12/01/2019 Physique des ondes I

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