Calcul littéral Réduire une somme algébrique La distributivité Factoriser La double distributivité mode d'emploi

Réduire une somme algébrique

+ 3a -5 + 2a - 3a² X = 7a² + 3a -5 + 2a - 3a² = 7a² - 3a² + 3a + 2a -5 Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles X = 7a² + 3a -5 + 2a - 3a² On ajoute les termes en a² et on ajoute les termes en a. On regroupe les termes en a² et en a. = 7a² - 3a² + 3a + 2a -5 = 4a² + 5a -5 Y = 3a + 5 – 7a – 4a² + 6 On regroupe les termes = - 4a² + 3a - 7a + 5 + 6 en les ordonnant : les termes en a² puis en a . = -4a² - 4a + 11 à copier

c’est à toi A = 8 – a + a² + 5a = a² - a + 5a + 8 = a² + 4a + 8 B = 3t + 7 – 2t² + 4t - 1 = -2t² + 3t + 4t + 7 – 1 = -2t² + 7t + 6 C = -3 + 4k – 3k² + 5 +k² = - 3k² + k² + 4k - 3 + 5 = -2k² + 4k + 2

La distributivité

Les 2 résultats sont égaux donc observe (22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4 La distributivité avec des nombres (22+3)×4 = 25 × 4 = 100 22×4 + 3×4 = 88+12 = 100 Les 2 résultats sont égaux donc observe (22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4 + 22 × 4 3 × 4 On admet que c’est vrai pour tous les nombres. On dit que la multiplication est distributive sur l’addition (ou sur la soustraction).

(22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4 + (a + b) × k = a × k + b × k + La distributivité avec des nombres (22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4 + avec des lettres (a + b) × k = a × k + b × k +

(a + b) × k = a × k + b × k + + - + + La distributivité (2 + b) × 5 = 2 × 5 b × 5 = 10 + 5b (a - 3) × 4 = - a × 4 3 × 4 = 4a - 12 (k + 7) × k = + k × k 7 × k = k² + 7k (3 + h) × (-5) = + 3 × (-5) h × (-5) = -15 + (-5)h = -15 - 5h à copier

(a + b) × k = a × k + b × k + c’est à toi 3 × (4 + a) = 3 × 4 + 3 × a (5 + d) × (-3) = 5 × (-3) + d × (-3) = -15 – 3d (4 + f) × f = 4 × f + f × f = 4f + f² g × (g -5) = g × g + g × (-5) = g² - 5g

(a + b) × k = a × k + b × k + Plus difficile observe - A = 2 × (3 + a) + ( 5 × a – 5 × 4) = 6 + 2a + ( ) + +5a - 20 5a 20 - Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe de chacun des nombres de la parenthèse. = 6 + 2a = 7a – 14

(a + b) × k = a × k + b × k + Plus difficile observe B = 3 × (2 - a) - ( 2 × a + 2 × 7) = 6 - 3a – ( 2a 14) + -2a - 14 + Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres de la parenthèse. = 6 - 3a = -5a - 8

(a + b) × k = a × k + b × k + Plus difficile observe C = 4 × (1 - a) - - ( 3 × a + 3 × (-2)) = 4 - 4a - ( 3a 6) + -3a + 6 - Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres de la parenthèse. = 4 - 4a = -7a + 10 à copier

c’est à toi D = 3×(5+a) + 2×(4–a) =3×5+3×a+(2×4–2×a) E = 2×(3 + a) - 5×(a-1) =3×5+3×a+(2×4–2×a) = 2×3+2×a-(5×a+5×(-1)) = 15 + 3a + ( 8 – 2a) = 6 + 2a – ( 5a – 5) = 15 + 3a + 8 – 2a = 6 + 2a – 5a + 5 = 1a – 23 = -3a + 11 = a – 23

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Factoriser

L’égalité (a + b) × k = a × k + b × k peut s’écrire aussi a × k + b × k = (a + b) × k ou encore a × k + b × k = k × (a + b) a a × + b + b × k × ( ) On a factorisé k observe On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.

a × k + b × k = k × (a + b) a a × + b × k × ( ) 2 × 3 + 3 × a = 2 2 × On souligne le facteur commun, on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné. a a a × 4 - 3 × 4 = × - - 3 3 × 4 × ( ) à copier

a a a × k + b × k = k × (a + b) × + b × k × ( ) 2 × 3 + 3 × a = 2 + a On souligne le facteur commun, on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné. a a × 4 - 3 × 4 = a - 3 a × - - 3 3 × 4 × ( ) 2 × 5 + c × 5 = 5 × (2 + c) c’est à toi 8 × d + 8 × 5 = 8 × (d + 5) e × 7 - 2 × 7 = 7 × (e - 2) 2 × f + g × 2 = 2 × (f + g) h × 3 - 3 × i = 3 × (h - i)

a a × k + b × k = k × (a + b) a × + b × k × ( ) Plus difficile observe 3 3 × a + a 3a + ab = a + ab = × b = × a a × (3 + b) × (3 + b)

On peut simplifier l’écriture a × k + b × k = k × (a + b) a a × + b × k × ( ) Plus difficile observe 3 × a + a × b = a (3 + b) On peut simplifier l’écriture en ak + bk = k(a + b) a × k + b × k = k × (a + b)

D’autres exemples plus difficiles ak + bk = k(a + b) D’autres exemples plus difficiles 3 + 3a = 3( 3 × 1 + 3a = 3(1 + a) 3 = 3 × 1 14 + 7a = 2 × 7 + 7a 14 = 2 × 7 = 7(2 + a) On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre terme de la somme on a le facteur 4 4a + 24 = 4a + 4 × 6 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 4(a + 6) 5a² + ba² = a² (5 + b) à copier

c’est à toi 5 + 5k = 5 × 1 + 5k = 5(1 + k) 18 + 6t = 6 × 3 + 6t 15 + 3f = 3 × 5 + 3f = 3(5 + f) 15y - 30 = 15y - 2×15 = 15(y – 2) 2u + 30 = 2u + 2 ×15 = 2(u + 15) 7 - 7p = 7 × 1 – 7p = 7(1 - p) gd² + 3d² = d² (g + 3) 7h² - s²h² = h² (7 – s²) 5j - 45 = 5j - 5 × 9 = 5(j - 9) 20z - 4 = 4 × 5z - 4 ×1 = 4(5z - 1)

D’autres exemples plus difficiles ak + bk = k(a + b) D’autres exemples plus difficiles a² + 3a = a × a + 3a Attention, on ne souligne qu’un seul « a » par terme ! a² = a × a = a(a + 3) 5ab - 5ac = 5a(b - c) 12a + 4ab = 3 × 4a + 4ab = 4a(3 + b) 3r² + 3rj = 3r × r + 3rj = 3r(r + j) à copier

c’est à toi g² - 5g = g × g - 5g = g(g - 5) 3h² + 5h = 3h × h + 5h 3tv + 3at = 3t(v + a) 15c + 5c² = 3×5c+5c×c = 5c(3 + c) 5rv + 20r = 5rv + 4 × 5r = 5r(v + 4) 3r²v + 6r² = 3r²v+2×3r² = 3r²(v + 2) 6dc + 6c² = 6dc + 6c × c = 6c(d + c) 5tv + vat = tv(5 + a)

à suivre … retour

La double distributivité

Les 2 résultats sont égaux donc Observe Calculons (70 + 6) × (40 +7) = 76 × 47 = 3 572 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 = 2 800+490+240+42 = 3 572 Les 2 résultats sont égaux donc Observe (70 + 6) × (40 +7) = 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 On admet que c’est vrai pour tous les nombres.

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d (a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd a×2 + (a + 3) (2 +d) = ad + 3×2 + 3d On développe = 2a + ad + 6 + 3d On réduit a×3 + (a + 4) (3 +a) = aa + 4×3 + 4a On développe = 3a + a² + 12 + 4a On réduit = a² + 7a + 12 On groupe et on ordonne 7×3 - (7 + a) (3 - a) = 7a + a×3 - aa On développe = 21 - 7a + 3a – a² On réduit = -a² - 4a + 21 On groupe et on ordonne à copier

a×5 + aa + 3×5 + 3a (a + 3)(5 + a) = = 5a + a² + 15 + 3a c’est à toi (a + 3)(5 + a) = a×5 + aa + 3×5 + 3a = 5a + a² + 15 + 3a = a² + 8a + 15 (7 - b)(5 + b) = 7×5 + 7b - b×5 - bb = 35 + 7b – 5b – b² = -b² + 2b + 35 (c - 4)(c - 3) = cc - c×3 – 4c + 4×3 = c² - 3c – 4c + 12 = c² - 7c + 12

FIN

Calcul littéral 1) Réduire une somme algébrique Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles X = 7a² + 3a -5 + 2a - 3a² On regroupe les termes en a² et en a. = 7a² - 3a² + 3a + 2a -5 On ajoute les termes en a² et on ajoute les termes en a. = 4a² + 5a -5 Y = 3a + 5 – 7a – 4a² + 6 On regroupe les termes en les ordonnant : les termes en a² puis en a. = - 4a² + 3a - 7a + 5 + 6 = -4a² - 4a + 11 retour

(a + b) × k = a × k + b × k + - 2) La distributivité (2 + b) × 5 = 2 × 5 + b × 5 = 10 + 5b (a - 3) × 4 = a × 4 - 3 × 4 = 4a - 12 (k + 7) × k = k × k + 7 × k = k² + 7k (3 + h) × (-5) = 3 × (-5) + h × (-5) = -15 + (-5)h = -15 - 5h retour

- A = 2 × (3 + a) = 2 × 3 + 2 × a = 6 + 2a + ( ) = 6 + 2a + 5a - 20 Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe de chacun des nombres de la parenthèse. + 5 × (a – 4) + ( 5 × a – 5 × 4) 5a 20 -

B = 3 × (2 - a) = 3 × 2 + 3 × (-a) = 6 - 3a – ( 2a 14) = 6 - 3a Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres de la parenthèse. - 2 × (a + 7) - ( 2 × a + 2 × 7) + -2a - 14

C = 4 × (1 - a) = 4 × 1 + 4 × (-a) = 4 - 4a - ( 3a 6) = 4 - 4a retour

a × k + b × k = k × (a + b) k a × k - b × k = k × (a - b) k 3) Factoriser a × k + b × k = k × (a + b) k a × k - b × k = k × (a - b) k On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse, on recopie tout ce qui n’est pas souligné. 2 × 3 + 3 × a = 3 × (2 + a) 3 a × 4 - 3 × 4 = 4 × (a - 3) 4

3a + ab = a(3 + b) 3 + 3a = 3 × 1 + 3a = 3(1 + a) 14 + 7a = 2 × 7 + 7a On écrit 3 sous la forme du produit 3 × 1. = 3(1 + a) 14 + 7a = 2 × 7 + 7a On écrit 14 sous la forme du produit 2 × 7. = 7(2 + a) 4a + 24 = 4a + 4 × 6 On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre terme de la somme on a le facteur 4. = 4(a + 6) 5a² + ba² = a² (5 + b) retour

a² + 3a = a × a + 3a = a(a + 3) 5ab - 5ac = 5a(b - c) 12a + 4ab = Attention, on ne souligne qu’un seul « a » par terme ! = a(a + 3) 5ab - 5ac = 5a(b - c) 12a + 4ab = 3 × 4a + 4ab = 4a(3 + b) 3r² + 3rj = 3r × r + 3rj = 3r(r + j) retour

4) La double distributivité Pour tous nombres relatifs a, b, c et d (a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd (a + 3) (2 +d) = a×2 + ad + 3×2 + 3d = 2a + ad + 6 + 3d On développe On réduit (a + 4) (3 +a) = a×3 + aa + 4×3 + 4a = 3a + a² + 12 + 4a = a² + 7a + 12 On développe On réduit On groupe et on ordonne (7 + a) (3 - a) = 7×3 - 7a + a×3 - aa = 21 - 7a + 3a – a² = -a² - 4a + 21 On développe On réduit On groupe et on ordonne retour

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