Sous-échantillonner le signal audio pour compresser Jean-Paul Stromboni, Polytech'Nice-Sophia, Département Sciences Informatiques, SI3 durée 55 mn, vidéo projecteur, et au besoin jouer des sons Après ce cours, vous devez savoir : décrire l'effet du sous-échantillonnage sur un signal audio et sur son spectre Utiliser la contrainte de Shannon pour compresser un signal par sous- échantillonnage décrire l’effet du sur-échantillonnage sur un signal et sur son spectre utiliser la formule de Shannon et le filtre reconstructeur de Shannon pour décompresser par sur-échantillonnage et application du filtre de Shannon En travaux dirigés, vous expérimenterez : la compression et la décompression d'un signal sinusoïdal par sous-échantillonnage et sur-échantillonnage + filtrage de Shannon, avec l’aide de Scilab

Sous échantillonner : un moyen de compresser Sous échantillonner un signal discret dans un rapport M, c’est conserver un échantillon sur M (cf. illustration ci-dessous) Symbole : Sous échantillonner dans un rapport M revient à diviser la fréquence d’échantillonnage par M La taille du signal est divisée par M, le bit rate (débit binaire) aussi, d’où le taux de compression de M Jusqu’à quel point peut on augmenter M sans endommager le signal ? Exemple : pour M=2 Taille du signal avant ? Taille du signal après sous échantillonnage ? Échantillons restants que devient Te ? Que devient fe ? Taux de compression ? 2Te t s(t) D Te t s(t) D

Effet du sous échantillonnage sur le spectre Exemple d’un signal sinusoïdal (f0, fréquence unique) |TFD(s)| a/2 fe f fe - fo fo Où retrouver f0 et a sur le spectre d’amplitude ? On sous-échantillonne s dans un rapport M entier a/2 fe /M f fo fe /2M fe /M- fo Retrouver f0 et a sur le spectre

Exemple d’un signal sinusoïdal avec Matlab % attention, script Matlab fe=8000; D=3; f0=440; a0=1; t=0:1/fe:D; s=a0*sin(2*pi*f0*t); N=8192; stem(t,s) axis([0,D,-1.1,1.1]) ylabel('amplitude') xlabel('temps t (s)') title(['0 à',num2str(D),' s']) K=4*N; fr=[0:K-1]*fe/K; spec=abs(fft(s(1:N),K)); plot(fr,spec) ylabel('spectre d''amp …) xlabel('fréquence Hz') title([ … ]) grid

Sous-échantillonnage dans un rapport M=2 Symbole : ssech=s(1:2:length(s)); N devient 4096 Te devient 2*Te, 1/4000s fe devient fe/2 soit 4000Hz on retrouve a0 et f0 a0/2 = 2048/N (2036/N), d'où a0 = 1 f0 = 440Hz (439.9) taux de compression C=2

Sous-échantillonnage de s dans un rapport 4 ssech=s(1:4:length(s)); N devient N/4= 2048 Te devient 4*Te fe devient fe/4 =2000Hz a0/2 = 1024/2048, a0=1 f0 = 440Hz taux compression : 4

Sous-échantillonnage de s dans un rapport M= 8 ssech=s(1:8:length(s)); N devient N/8= 1024 Te devient 8*Te fe devient fe/8 =1000Hz a0/2 = 512/1024, a0=1 f0 = 440Hz taux compression : 8

Sous-échantillonnage de rapport 16 : expliquer le problème ! ssech=s(1:16:length(s)); N devient N/16= 512 Te devient 16*Te fe devient fe/16 =500Hz a0/2 = 256/512, a0=1 f0 = 60Hz !! Erreur !! taux compression : pas Les deux raies spectrales en f0 et fe-f0 ont croisé fe/2, on parle de repliement du spectre. On lit fe-f0=60Hz et non f0=440Hz dans l'intervalle [0,250Hz]

Contrainte de Shannon (ou de Nyquist-Shannon) cf. ‘A Mathematical Theory of Communication’, 1948, de C.E. Shannon : pour échantillonner un signal s(t), il faut respecter la contrainte suivante sur le spectre S(f) de s(t) : Version simple de la contrainte de Shannon : la fréquence d'échantillonnage doit être égale au moins au double de la fréquence maximale du spectre du signal : s'il existe fmax telle que S(f >fmax)=0, alors fe >=2*fmax Version générale de la contrainte de Shannon : la fréquence d'échantillonnage doit être égale au moins au double de la largeur du spectre du signal : s'il existe fmin et fmax telle que S(f >0) =0 pour f<fmin et pour f>fmax, Il faut assurer : fe >=2*(fmax-fmin) Si la contrainte a été respectée durant l’échantillonnage, la formule de Shannon (page suivante) permet de reconstruire s(t) à partir des échantillons. Sinon, les échantillons ne permettent pas de reconstituer le signal s(t) ! C’est pourquoi : seuls les signaux ‘à bande limitée’ (c’est-à-dire dont le spectre est nul au-dessus d’une fréquence maximale) peuvent être échantillonnés correctement. sur les cartes sons des ordinateurs, on place un filtre dit ‘anti-aliasing’ qui limite le spectre du signal à l’intervalle [0, fe /2[ avant l’échantillonnage

Formule de Shannon, filtre reconstructeur de Shannon, Voici la formule de Shannon qui reconstruit s(t) à partir des échantillons s(nTe) si la contrainte de Shannon est respectée: Dans le domaine fréquentiel, la formule de Shannon applique au signal discret le filtre reconstructeur de Shannon, pour calculer s(t) : ce filtre multiplie par Te les composantes fréquentielles entre –fe/2 et fe/2, et multiplie par 0 toutes les autres composantes du spectre pour supprimer D’où la réponse fréquentielle du filtre de Shannon Si la contrainte de Shannon n‘est pas respectée pour l’échantillonnage, le filtre est impuissant, s(t) est perdu, les échantillons sont inutiles ! f fe/2 -fe/2 Te

Sur-échantillonnage dans un rapport M d’un signal discret signifie insertion de M-1 échantillons nuls entre deux échantillons du signal Exemple : sur-échantillonnage du signal sous échantillonné précédent avec M=8 : Effets du sur-échantillonnage sur le spectre : La fréquence d’échantillonnage est multipliée par M Le spectre ne varie pas (on ajoute des termes nuls, les échantillons supplémentaires étant nuls)

Sur-échantillonnage dans un rapport M=8 du signal ssech de la page 7, et tracé du spectre du signal sur-échantillonné sur-échantillonnage M=8 : // avec Scilab, c’est sse=zeros(size(s)); sse(1:M:length(s))=ssech; N/8 redevient N=1024 échantillons 8*Te redevient Te fe/8 redevient fe =8000Hz a0/2 reste égal à 512/1024, a0=1 f0 = 440Hz Effets du sur-échantillonnage sur le spectre : le spectre ne varie pas, il reste égal à celui du signal sous-échantillonné, car on ajoute des échantillons nuls ! mais fe étant multiplié par 8, on voit M=8 périodes entre 0 et fe 8 440 Peut-on retrouver dans le spectre du signal sur-échantillonné (ci-contre) : le spectre du signal sous échantillonné Le spectre du signal initial s(t)

Comment utiliser la formule de Shannon pour retrouver les échantillons du signal initial avant sous-échantillonnage Dans le domaine fréquentiel, la formule de Shannon applique un filtre au signal sur-échantillonné : Filtre reconstructeur de Shannon de fréquence de coupure fe/(2*M) et de gain M*Te Entrée du filtre : signal sur-échantillonné Sortie du filtre : signal avant sous-échantillonnage Condition de succès : respect de la contrainte de Shannon en sous-échantillonnant

Application : pour décompresser, on utilise un filtre de Shannon pour reconstituer le signal sinusoïdal avant sous-échantillonnage Le filtre de Shannon de fréquence de coupure fe/16 reconstitue le spectre du signal s à partir du spectre de sse : il conserve les 2 raies du spectre de s et supprime toutes les autres il multiplie par 8 les raies conservées Pourquoi peut-on assurer que la sortie du filtre vaut s ? Parce que le spectre du signal filtré est égal au spectre de s ! Pourquoi la3 et la3Shannon sont-ils différents au départ ? Initialisation du filtre de Shannon Pourquoi faut-il respecter la contrainte de Shannon en sous-échantillonnant ? Car le filtre de Shannon est inefficace sinon (voir par exemple M=16) Programmation du filtre avec Scilab t= [0: length(s)-1]/fe; srec=zeros(1,length(s)); // pour size(s) en Matlab for j=0:length(ssech)-1 srec=srec+ssech(j+1)*sinc(%pi*(t-8*j/fe)*fe/8); // car sinc(x)= sin(x)/x en Scilab // c’est sin(px)/(px) en Matlab, pas besoin de %pi end 8 440

 Pour vous tester par vous-même  Créer avec Scilab le signal s suivant durant 2 s : Sous échantillonner le signal s dans le vecteur Scilab sse si M=2 ? Quel est le bit rate de s si B=8 bits ? Quel taux de compression faut il appliquer à s pour réduire le bit rate à 32kbps ? Sur-échantillonner le vecteur sse dans un rapport M=2 Que réalise la formule de Shannon ? Jusqu'à quel rapport M peut on sous échantillonner le signal s ? Dans quel cas le filtre de Shannon est-il incapable de retrouver s à partir de sse ?