La géométrie géo : la terre metrikos : mesure Thierry Dias décembre 2006

espace géométrie contenus des textes officiels repérage orientation L ’école élémentaire contenus des textes officiels espace géométrie repérage orientation relations et propriétés solides figures planes compétences et savoirs : pluri-disciplinaire compétences et savoirs : mathématiques Thierry Dias décembre 2006

L ’école élémentaire deux géométries : empirique et théorique référence aux travaux de Salin et Berthelot L'objectif principal est de permettre aux élèves de passer progressivement : d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par explicitation de propriétés et recours à des instruments. Thierry Dias décembre 2006

de je vois à je sais du dessin à la figure de l'objet au concept L ’école élémentaire deux géométries : empirique et théorique de je vois à je sais du dessin à la figure de l'objet au concept Thierry Dias décembre 2006

aider au passage d'une géométrie à l'autre : L ’école élémentaire aider au passage d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique Géométrie Empirique (pratique) Théorique Intuition Sensible et perceptive Liée aux figures Expérience Liée à l’espace mesurable Schéma de la réalité Déduction Proche du réel et liée à l’expérience par la vue Démonstration basée sur des axiomes référence aux travaux de Houdement et Kuzniak Thierry Dias décembre 2006

intuition expérience liens entre intuition et expérience évidences L ’école élémentaire liens entre intuition et expérience évidences informations intuition nourrit expérience structure référence aux travaux de Coppe Thierry Dias décembre 2006

Comment résoudre ce paradoxe perceptif ?? L ’école élémentaire d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique illustration : Comment résoudre ce paradoxe perceptif ?? Nous sommes ici "victimes" de notre perception, d'une certaine intuition, l’ambiguïté ne sera levée que par le recours à l'expérience, bref à l ’utilisation de connaissances mathématiques géométriques. Thierry Dias décembre 2006

Les activités du domaine géométrique : L ’école élémentaire retour aux textes officiels Les activités du domaine géométrique : ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles, utiles pour résoudre des problèmes dans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur. Thierry Dias décembre 2006

programmes : progression L ’école élémentaire programmes : progression Les apprentissages se déroulent de manière continue de la petite section de maternelle jusqu’au CM2. Un vocabulaire précis doit être progressivement mis en place. Le principe est de partir du réel (et donc d’objets matériels) puis d’abstraire peu à peu. La primauté est donnée à la géométrie dans l’espace. Il n’y a pas de démonstration bien entendu, mais un début d’apprentissage du raisonnement, notamment dans les activités de reproduction de figures. Thierry Dias décembre 2006

Structuration de l'ensemble des concepts : aspects notionnels L ’école élémentaire Structuration de l'ensemble des concepts : aspects notionnels Vergnaud Objets : point, droite, segment, angle, milieu carré, rectangle, losange, parallélogramme, triangles, cercle cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet Relations : alignement, égalité de longueurs, perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale Mesures : longueurs et aires : périmètre et aire du carré et du rectangle, longueur du cercle. Thierry Dias décembre 2006

quatre mots-clés (types de tâches) : L ’école élémentaire quatre mots-clés (types de tâches) : Reproduire : des figures, y compris la réalisation pratique de solides Décrire : des figures, pour les identifier ou les représenter Représenter : notamment des solides, avec les problèmes de faces visibles ou invisibles, les patrons Décrire : c’est utiliser un vocabulaire géométrique permettant à un interlocuteur d’identifier un objet, de le reproduire, de le construire ou de le localiser (situations de communication). Suivant le but de la description les compétences mobilisées ne sont pas les mêmes :Pour reconnaître une figure parmi d’autres. L’élève doit identifier les caractéristiques des figures, et maîtriser le vocabulaire ; Pour reproduire une figure .L’élève doit analyser la figure et communiquer les différentes étapes de la construction, ce qui nécessite de définir une chronologie, de choisir le vocabulaire adapté, de se décentrer pour contrôler que le message est recevable par un tiers . Reproduire: c’est faire une copie à l’identique à l’échelle 1 (ou autre) , on peut aussi demander de compléter une figure déjà commencée pour qu’elle soit la reproduction d’une autre. La validation peut se faire par superposition. Construire: C’est produire un objet à partir d’un texte descriptif ou prescriptif, à partir d’un schéma éclairé par un texte ou des codages; Suivant l’énoncé les compétences mobilisées ne sont pas les mêmes : A partir d’un programme de construction. L’élève doit maîtriser : le vocabulaire et sa signification, les propriétés des objets , la syntaxe spécifique de la géométrie, le code dans le cas d’un schéma A partir d’un schéma codé. L’élève doit  connaître les conventions de codage, analyser une figure, distinguer la figure du dessin. Représenter : c’est évoquer un objet ou une situation spatiale avec des procédés graphiques.( construction d’une maquette, d’un plan) Dans le cas d’un plan l’élève doit faire abstraction de certaines propriétés qu’il connaît (rabattre les murs par exemple) . Dans le cas de la représentation d’un solide en perspective il doit prendre conscience que certaines propriétés ne sont pas représentées que d’autres ne sont pas conservées (perpendicularité). Problèmes qui peuvent être finalisées dans des situations de communication. Construire : des figures, avec des matériaux et des outils multiples : règle, équerre, gabarit, calque, compas Thierry Dias décembre 2006

Pour quoi enseigner la géométrie : donc... Pour quoi enseigner la géométrie : 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement 2. Apprendre aux élèves à voir dans l ’espace 3. Apprendre aux élèves à raisonner Comment enseigner la géométrie : 1. Mettre en œuvre des situations de recherche 2. Mettre en œuvre des situations de communication 3. Faire une place aux nouvelles technologies 4. Lier la géométrie aux autres disciplines Thierry Dias décembre 2006

Mettre en œuvre des situations de communication Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication Analyser, reproduire et décrire une figure Donner du sens à un programme de construction à vos crayons !! Thierry Dias décembre 2006

Organisation 1 : une seule figure par binôme E/R Dans un premier temps, les élèves élaborent un message écrit (sans dessin), qu’ils transmettent pour exécution à leur correspondant. Dans un second temps, les récepteurs réalisent la production demandée par leur camarade. En cas d’ambiguïté, ils peuvent poser une question aux émetteurs mais par écrit. Dans un troisième temps, émetteurs et récepteurs appariés, se réunissent pour comparer avec l’attendu, débattre des différences et écrire deux messages définitifs qu’ils donnent à l’enseignant*. * Celui-ci peut alors, soit organiser un débat collectif pour valider les messages, soit évaluer chaque message avec le groupe réalisateur de la dernière mouture. Thierry Dias décembre 2006

Organisation 2 : deux figures simultanées (une différente pour chaque binôme E/R) temps 1 : travail en binôme : observation de la figure, reproduction de la figure, description par un message temps 2 : travail en binômes : échanges des messages : lecture de la description écrite, construction de la figure temps 3 : mise en commun par regroupement de binômes : comparaison des figures et conclusions sur les écrits, si des différences sont importantes, on peut essayer de corriger le message écrit en tenant compte de ces différences temps 4 : mise en commun collective : difficultés et réussites rencontrées, dégagement par l'enseignant des invariants (ce qui fonctionne bien), institutionnalisation Thierry Dias décembre 2006

A/ règle + équerre : 2 séances B/ règle + équerre + compas : 2 séances Un exemple de séquence A/ règle + équerre : 2 séances B/ règle + équerre + compas : 2 séances Thierry Dias décembre 2006

A/ Règle + équerre séance 1 objectif : permettre de découvrir que ce sont les propriétés qui fondent les caractéristiques des polygones particuliers que sont le carré et le rectangle et non pas leur forme. propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à deux), angle droit. Thierry Dias décembre 2006

mots interdits pour les émetteurs : carré, rectangle Fig. 1 Fig. 2 mots interdits pour les émetteurs : carré, rectangle remarque : l'enseignant veille bien à proposer les figures de façon inclinées afin d'éviter la position prototypique. Thierry Dias décembre 2006

séance 2 objectif : prendre conscience que l'orientation d'une figure ne change pas ses propriétés, mais que le programme de construction peut s'en trouver changé. propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à deux), angle droit, milieu d'un segment, éventuellement diagonales Thierry Dias décembre 2006

remarque : même figure, même dimension, mais orientation différente Thierry Dias décembre 2006

B/ Règle + équerre + compas séance 3 objectif : découvrir des constructions de figure à partir d'un carré propriétés travaillées : milieu d'un segment; arc de cercle, centre d'un cercle, éventuellement diamètre et rayon d'un cercle Thierry Dias décembre 2006

remarque : même base carrée (visible ou non au choix) Fig. 1 Fig. 2 remarque : même base carrée (visible ou non au choix) Thierry Dias décembre 2006

séance 3 bis Fig. 1 Fig. 2 remarque : ces figures peuvent être données en même temps que celles de la séance 3 lors d'un séance plus différenciée Thierry Dias décembre 2006

Une classe de 6 eme du collège de la Grange du Bois et les classes de CM2 se sont lancées un défi dans le domaine de la géométrie. Les fiches proposées ont été élaborées par les élèves... Pour les utiliser, tu peux effectuer une impression de la page principale. La solution apparaît si tu cliques dans le cadre tout en bas. http://perso.orange.fr/ecole.pierre.brossolette/geompr.html Thierry Dias décembre 2006

Trace un cercle de centre A et de 3,5 cm de rayon. Trace un cercle de 3,5 cm de rayon et qui passe par le point A. Place les points B et C aux intersections des deux cercles. Trace un cercle de centre B et de 3,5 cm de rayon. Trace un cercle de centre C et de 3,5 cm de rayon. Colorie comme tu veux avec les crayons de couleur ou les feutres. Repasse sur les contours avec ton feutre noir. Thierry Dias décembre 2006

Thierry Dias décembre 2006

Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser A B C D E F G H J K L M Thierry Dias décembre 2006

Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170 "Un concept est un triplet de trois ensembles C= (S, I, S) S : ensemble des situations qui donnent sens au concept (la référence) I : ensemble des invariants sur lesquels repose l’opérationalité des schèmes (le signifié) S : ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)" Thierry Dias décembre 2006

BERTHELOT R. & SALIN M.H.,L’enseignement de la géométrie à l’Ecole primaire, Grand N n°53 (p. 39-56), IREM de Grenoble, 1994 BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3, Grand N n°56 (p. 69-116), IREM de Grenoble, 1995 BERTHELOT R. & SALIN M.H., L’enseignement de la géométrie au début du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive ?, Petit x n° 56, IREM de Grenoble, 2001 IREM DE LILLE, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord - Pas de Calais, 2000 HOUDEMENT C., KUZNIAK A., Géométrie et paradigmes géométriques, Petit x n° 51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999 Thierry Dias décembre 2006