Dynamique et Jacobien Je me déplace!
Objectifs Caractériser la vitesse d’un repère; Calculer les vitesses linéaire et de rotation; Calculer le Jacobien et les singularités.
Vitesses (1) Soit un point P fixe dans un repère {B}, qui lui même est mobile par rapport à un repère {A}; Lorsque {B} se déplace par rapport à {A}, alors P se déplace également par rapport à {A} et on peut écrire (cf. chap. “cinématique : concepts de base”): Mobile dans {A} Fixe dans {B}
Vitesses (2) En dérivant par rapport au temps, il vient : Avec : D’où :
Vitesses (3) Matrice des vitesses de rotation : Montrer que cette matrice est de la forme : Donner w1 , w2 et w3
Propagation des vitesses (1)
Propagation des vitesses (2) On a : Avec : De même : Et :
Exemple L1 L2 V3
Le Jacobien (1) Jacobien = dérivation multidimensionnelle ; Exemple : 6 fonctions fi , i=1,…,6 6 variables xi , i=1,…,6 On a : y1 = f1(x1, x2, …, x6) y2 = f2(x1, x2, …, x6) y6 = f6(x1, x2, …, x6) Sous forme vectorielle : Y = F(X)
Le Jacobien (2) Jacobien On fait un accroissement : Soit : Et en divisant par dt : Le Jacobien est une transformation linéaire variable dans le temps associant des vitesses.
Pour un robot Les équations de la cinématique directe donnent : Repère de l’outil terminal = F(Variables articulaires) Soit en introduisant le Jacobien : Vitesses de l’OT = J . (Dérivées des VA) Si toutes les articulations sont en rotation : Avec :
Singularités (1) Si J est inversible, on a : Les valeurs des variables articulaires, pour lesquelles J n’est pas inversible, constituent des singularités du robot.
Singularités (2) Le robot est dans une configuration singulière si il a perdu un ou plusieurs DDLs dans l’espace cartésien :