Systèmes Différentiels Travaux Pratiques

En physique ou en mathématiques, on définit comme conditions initiales les éléments nécessaires à la détermination de la solution complète et si possible unique d'un problème, éléments qui décrivent l'état du système à l'instant initial, c'est-à-dire l'état de départ. Plus formellement, on appelle condition initiale l’espace d'un système étudié à l'instant initial. C'est ce qui permet de déterminer les coefficients des solutions des équations différentielles, par exemple les équations de mouvement des corps.

Méthode d'Euler On considère une équation différentielle d'ordre 1 sous forme résolue y'=f(x,y), avec la condition initiale y(x0)=y0. Le principe est d'approcher la solution y sur [a,b] par une fonction affine par morceaux, en opérant une discrétisation du paramètre : on pose xi = a + ih où h = (b − a) / n est le pas.

La fonction affine par morceaux joindra donc les points de coordonnées (xi,yi), et il s'agit de proposer un algorithme pour construire les yi à partir de y0. Sur chaque intervalle [xi,xi+1] on prend pour pente du segment affine celle que suggère l'équation : f(xi,yi).

Sommaire I. Équation du premier ordre II. Équation du deuxième ordre III. Système Différentiel avec équation du premier ordre

I. Équation du premier ordre x'(t) = x(t) ln(x(t)²+t²) + a

Points critiques  Cherchons les t pour lesquels x' s’annule. Si a=0 : x(t) ln(x(t)²+t²) = 0

=>x(t) = 0 ou ln(x(t)²+t²) = 0 x(t)²+t² = 1 x(t)² = 1-t² x(t) =  √(1-t²) Pour t =  1, x vaut 0, donc 1 et -1 sont des points critiques.

Allure de la solution pour une condition initiale positive la courbe ressemble à une courbe de fonction exponentielle qui explose en 1.

Allure de la solution pour une condition initiale négative la courbe ressemble à l’inverse d’une courbe de fonction exponentielle qui explose en 1.

Il n’y a pas de solution si la condition initiale est 0 Il n’y a pas de solution si la condition initiale est 0. On remarque alors que t = 1 est un point critique de la solution de l’équation différentielle.

Si a≠0 : Il est difficile de calculer les points critiques.

Si la condition initiale est négative

Si a<0, exemple prenons a = -10 l’allure de la courbe de x ressemble à l ’opposée d ’une fonction exponentielle

Si a>0 et compris entre 1 et 5, exemple prenons a = 2 l’allure de la courbe de x ressemble aussi à une drôle de courbe.

Si a>5, exemple prenons a = 10 l’allure de la courbe de x ressemble aussi à une fonction exponentielle

Si la condition initiale est positive

Si a<0, exemple prenons a = -10 l’allure de la courbe de x ressemble à l ’opposée d ’une fonction exponentielle

Si a>0 et compris entre 1 et 5, exemple prenons a = 2 l’allure de la courbe de x ressemble aussi à une courbe exponentielle

Si a>5, exemple prenons a = 10 l’allure de la courbe de x ressemble aussi à une fonction exponentielle

II. Équation du deuxième ordre x''(t)+x(t)+εx(t)3=0

Les équations différentielles linéaires d'ordre deux sont des équations différentielles de la forme : ay'' + by' + cy = d où a, b, c et d sont des fonctions. Les plus simples à résoudre sont les équations différentielles homogènes (où d = 0) à coefficients constants (où a, b, c sont des constantes)

   Si ε=0 

Elles ont pour équation ay'' + by' + cy = 0 où a, b et c sont des réels, a non nul. On les rencontre, entre autres, dans la modélisation de mouvement avec retour (type ressort) avec ou sans amortissement. On cherche des solutions sous forme exponentielle, c'est-à-dire telles que f(x) = eλx.

Une telle fonction sera solution de l'équation différentielle si et seulement si λ est solution de aλ2 + bλ + c = 0. Cette équation est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle. Comme pour toute équation du second degré, trois cas se présentent selon le signe du discriminant.

Ici Δ < 0 L'équation ne possède pas de solutions réelles mais deux solutions complexes : λ1 et λ2. On démontre alors que l'ensemble des fonctions de R dans C solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par f(x) = C1f1(x) + C2f2(x) où C1 et C2 sont deux complexes quelconques.

Si l'on cherche les fonctions de R dans R solutions de cette équation, il faut remarquer que λ1 = u + iv où u et v sont des réels. On démontre alors que l'ensemble des solutions sont les fonctions définies sur R par f(x) = eux(Acos(vx) + Bsin(vx)) où A et B sont deux réels quelconques. La détermination de A et B se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur f.

Pour déterminer ces deux constantes, il faut deux informations, par exemple y0et y'0 à l'instant x0 ou bien y1et y2 aux instants x1 et x2. Ici, la solution s’écrit : x(t) = Acos(ix) - Bsin(ix)

Systèmes oscillants à un degré de liberté Les phénomènes physiques dépendant du temps sont généralement décrits au départ par des équations différentielles. Dans le cas le plus simple, il y a une seule grandeur qui varie et on parle de système à un degré de liberté, la plupart du temps régi par une équation différentielle du second ordre. Les phénomènes naturels sont presque toujours non-linéaires mais, dans de nombreux cas, l'hypothèse des petits mouvements permet

d'aboutir à une excellente approximation fournie par une équation différentielle linéaire d ’ordre 2 à coefficients constants.

Systèmes conservatifs Solution mathématique L'équation d'un système sans amortissement écarté de sa position d'équilibre s'écrit donc Selon la méthode décrite dans l'article précité sur les équations du second ordre, on cherche une solution de la forme x = ert, ce qui conduit à l'équation caractéristique

Cette équation possède deux racines imaginaires conjuguées Cette équation possède deux racines imaginaires conjuguées. On peut remarquer au passage que, si la «raideur» K était négative, on obtiendrait deux racines réelles de signes opposés, la valeur positive entraînant une instabilité du système. La solution générale s'écrit En utilisant les formules d'Euler, cette équation devient

Solution en termes physiques

En posant a = A cos φ et b = -A sin φ, on obtient Le mouvement est représenté par une sinusoïde définie par une amplitude A, une phase φ et une pulsation exprimée en radians par seconde, dite pulsation propre, qui ne dépend que de la masse et la raideur du système :

On en déduit la fréquence propre, nombre d'oscillations par seconde exprimé en Hertz (Hz) : et la période propre, durée en secondes d'une oscillation :

L'une ou l'autre de ces trois grandeurs constitue l'information essentielle sur le système. Il est bon de remarquer que, quel que soit ce système, une augmentation de la masse accroît la période tandis qu'une augmentation de la raideur accroît la fréquence. Mais on peut aussi poser x''(t)=-f(x) avec f(x)=x(t)

x=x x'=x' x'=y y=x' y'=x'' y=-f(x)   x'=y=∂H/∂y y'=-f(x)= -∂H/∂x x'=y=f(x,y) y'=-x=g(x,y) ∂f/∂x + ∂g/∂y = 0 alors le système est hamiltonien. ~>H(x,y) = y²/2 + F(x) + k où F(x) est une primitive de f(x) et k une constante H(x,y) = y²/2 + x²/2 + k

Points singuliers  x = 0 et y = 0 alors le couple (0,0) est point singulier du système

Jacobienne : Elle permet de montrer si le point est asymptotiquement stable.   0 -1 1 0  ∆ = λ²+1=0   λ = ± i Donc (0,0) n’est pas asymptotiquement stable, mais stable. C ’est un centre.

Portrait de phase en (0,0)

Hessienne de H : 1 0 0 1   (1-λ) (1-λ) = 0 λ = 1 H(X,Y) = X² + Y² : c’est un cercle. Les courbes de niveau de H sont des cercles centrés en (0,0). Les solutions sont donc périodiques.

Il nous faut deux conditions initiales dans la résolution de cette équation différentielle.

Si x(0) = 0 et y(0) = 0 on a la fonction nulle Donc x  0 est une solution de l ‘équation différentielle.  

Si on prend x(0) = 1 et y(0) = 0 donc x admet un point critique en 0. Fréquence propre 1/2 Période propre 2

Si on prend x(0) = -1 et y(0) = 0 donc x admet un point critique en 0 Fréquence propre 1/2 Période propre 2

Si x(0) = 1 et y(0) = 1

Si x(0) = -1 et y(0) = -1

x"(t) + x(t) + εx(t)3 = 0 H(x,y) = y²/2 + x²/2 + εx4/4 + k Si ε ≠ 0 x"(t) + x(t) + εx(t)3 = 0   H(x,y) = y²/2 + x²/2 + εx4/4 + k

Si l'équation différentielle possède un second membre (si d est une fonction non nulle), il suffit de trouver UNE solution de cette équation : f0 pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions f0 + g où g est une solution générale de l'équation homogène. Le problème est souvent de déterminer cette solution particulière.

Si c est la somme de plusieurs fonctions c1 et c2, on peut chercher une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c1, puis une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c2, puis faire la somme de ces deux solutions particulières. On obtient alors une solution particulière de l'équation de départ.

Points singuliers y = 0 -x-εx3 = 0 -x (1+εx²) = 0 x = ± i √1/ε ou x = 0

Jacobienne 0 1 -1-3εx² 0

Les valeurs propres de la jacobienne en (i √1/ε , 0) 0 1 -1-3i 0   Le polynôme caractéristique s’écrit (0 - ) (0 - ) + 1+ 3i = ² + 1 + 3i et on trouve :  =  i √(1 + 3i) Ce point est un foyer.

Les valeurs de la jacobienne en (0,0) 0 1 -1 0   ² + 1 = 0  =  i pas asymptotiquement stable mais stable C ’est un centre.

Les valeurs de la jacobienne en (-i √1/ε , 0) 0 1 -1 + 3i 0   ² -3i + 1 = 0 ² = 3i – 1  =  √(3i - 1) C ’est un foyer.

Portrait de phase aux points critiques (0,0) est un centre (-i √1/ε , 0) et (i √1/ε , 0) sont des foyers

On rappelle que H s’écrit H(x,y) = y²/2 + x²/2 + εx4/4 + k ∂H/∂x = x + εx3 ∂H/∂y = y ∂2H/∂x² = 1 + 3εx² ∂2H/∂y² = 1

Donc la matrice hessienne s’écrit : 1 + 3εx² 0 0 1   le polynôme caractéristique s’écrit : (1 + 3εx² - ) (1 – ) = 1 -  + 3εx² - 3εx² -  + ² = ² +  (-1 - 3εx² -1) + 3εx²  = (2 + 3εx²)² - 12εx² = 4 + 12εx² + 9εx² - 12εx² = 9εx² + 4 x =  2/3 ε

H(X,Y)= (2/3 ε)X – (2/3 ε)Y+ k H a la forme d’une ellipse.

Pour tout ε, si x(0) = 0 et y(0) = 0 on obtient la solution nulle 

Si ε=1 , x(0)=1 et y(0)=0 L ’amplitudeaugmente avec le temps t

Si ε=1 , x(0)=-1 et y(0)=0 L ’amplitudeaugmente avec le temps t Mais la courbe est inversée

Si ε=1 , x(0)=1 et y(0)=1 La courbe explose plus vite quand y a une condition initiale  0

Si ε=1 , x(0)=-1 et y(0)=-1 La courbe est de nouveau inversée quand les conditions initiales sont inversées.

Si ε=-1 , x(0)=1 et y(0)=0 on a une solution constante égale à 1 

Si ε=-1 , x(0)=-1 et y(0)=0 on a une solution constante égale à -1 

Si ε=-1 , x(0)=1 et y(0)=1 la solution se comporte comme une fonction exponentielle qui explose en 1.6

Si ε=-1 , x(0)=-1 et y(0)=-1 la solution se comporte comme l ’opposée d’une fonction exponentielle

III. Système Différentiel avec équation du premier ordre x'(t) = -x(t)² + ay(t)² y'(t) = x(t) – y(t)²

Est-ce un système hamiltonien Est-ce un système hamiltonien ? f(x,y) = -x² + ay² g(x,y) = x – y² ∂f/∂x + ∂g/∂y = -2x – 2y  0 Alors non.

Quels sont les points singuliers ? -x² + ay² = 0 x – y² = 0 -y4 + ay² = 0 x = y²

y² (a – y²) = 0 x = y² y = 0 ou y² = a y = a Donc y = 0 et x = 0 y = a et x = a y = -a et x = a

Matrice jacobienne Jac(x,y) = -2x 2ay 1 -2y

La jacobienne en (0,0) 0 0 1 0 Le polynôme caractéristique s’écrit : (0 - ) (0 - ) = 0 Donc (0,0) n’est pas asymptotiquement stable mais seulement stable. C ’est un centre.

Représentation en (0,0) Centre en (0,0) ?

La jacobienne en (a,a) -2a 2aa 1 -2a 

Le polynôme caractéristique s’écrit : (-2a-)(-2a-) – 2aa = 4aa + 2a + 2a + ² - 2aa = ² + 2a + 2a + 2aa = ² +  (2a + 2a) + 2aa  = (2a + 2a)² - 8aa = 4a + 4a² = 4a (1 + a)

 = ((2a + 2a)   4a (1 + a))/2  >0 donc c’est un nœud impropre instable.

Représentation au point (1,1) Nœud impropre stable autour du point (1,1)

La jacobienne en (a,-a) -2a -2aa 1 2a 

Le polynôme caractéristique s’écrit : (-2a - ) (2a - ) + 2aa = -4aa +2a - 2a + ² + 2aa = ² + (2a - 2a) - 2aa  = (2a - 2a)² - 8aa = 4a² - 8aa + 4a – 8aa = 4a (a - 4a + 1)

 = - ((2a - 2a)   4a (a - 4a + 1)) /2 D’où le point (a, -a) n’est pas asymptotiquement stable. C ’est un col.

Représentation autour de (1,-1) Point col autour de (1,-1)

Résolution du système manuellement avec a = 0 x'(t) = -x(t)² y'(t) = x(t) – y(t)²  x'/x = -1 si x  0  x'/x = -1 ln x(t) = - t x(t) = C e-t avec C

Alors on a y'(t) = C e-t – y(t)² Équation homogène y'(t) = – y(t)² y'(t) / y(t)² = -1  y'(t) / y(t)² =  -1

-1 / y(t) = -t +k   y(t) = 1 / t – k y0(t) = 1 / t – k Il est difficile de calculer la solution particulière avec la méthode de la variation de la constante.

Pour tout a et x(0) = 0 et y(0) = 0 on a la solution nulle

Si a = 0 et x(0) = 1 et y(0) = 0 x ressemble à une fonction exponentielle Et y à une courbe en cloche

Si a = 0 et x(0) = -1 et y(0) = 0 x et y ressemblent toutes deux à des fonctions exponentielles qui explosent en 1

Si a = 0 et x(0) = 1 et y(0) = 1 x et y ressemblent à des fonctions exponentielles

Si a = 0 et x(0) = -1 et y(0) = 1 x et y ressemblent à des fonctions exponentielles

Si a = 0 et x(0) = 1 et y(0) = -1

Résolution du système avec a = 1

Si a = 1 et x(0) = 1 et y(0) = 0 Ceci est l ’inverse du graphique avec a=0

Si a = 1 et x(0) = -1 et y(0) = 0 Ceux sont des fonctions exponentielles

Si a = 1 et x(0) = 1 et y(0) = 1 X ne se trace pas et y est une solution constante égale à 1

Si a = 1 et x(0) = -1 et y(0) = 1 Ces courbes sont des exponentielles

Résolution du système avec a = -1

Si a = -1 et x(0) = 1 et y(0) = 0

Si a = -1 et x(0) = 1 et y(0) = 1

Si a = -1 et x(0) = 1 et y(0) = -1