Congrès MATh en JEANS Méthode d’Apprentissage de la Théorie des mathématiques en Jumelant des Etablissements pour une Approche Nouvelle du Savoir

Le Labyrinthe des Lemmings

Les Lemmings Les Lemmings sont des petits rongeurs de l’Eurasie septentrionale, voisins des campagnols, pullulant tous les deux à quatre ans et effectuant alors des migrations massives vers le sud.

Le Labyrinthe Le Labyrinthe est un tableau composé d’une suite de cases alignées et numérotées de 0 à l’infini : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … Chaque case est associée à une flèche représentant une direction : la gauche ou la droite. Seules les cases 0 et 1 n’ont pas de flèche.

Le Labyrinthe Initialement, les flèches sont toutes orientées vers la gauche. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … Les Lemmings entrent dans le Labyrinthe au niveau de la case 2. Ils sont envoyés les uns après les autres, c’est-à-dire qu’un Lemming n’entre que lorsque le précédent est sorti du Labyrinthe. Lorsqu’un Lemming passe par une case avec une flèche, il suit la direction de la flèche puis la retourne.

Le déplacement du Lemming varie selon le sens de la flèche : Le Labyrinthe Le déplacement du Lemming varie selon le sens de la flèche : - Lorsque la flèche est vers la gauche, le Lemming se déplace de deux cases vers la gauche. ... n-2 n-1 n n+1 … - Lorsque la flèche est vers la droite, le Lemming se déplace d’une case vers la droite.

Le Labyrinthe Les sorties du Labyrinthe sont les cases 0 et 1. La case 0 correspond au paradis et la case 1 à l’enfer. Lorsque le Lemming atteint une de ces deux cases, il sort du Labyrinthe et le Lemming suivant entre. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … Lemming au paradis Lemming en enfer

Faisons un essai sur les premiers Lemmings pour mieux comprendre. Le Labyrinthe Faisons un essai sur les premiers Lemmings pour mieux comprendre. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … Se déplacer de deux cases vers la gauche ou Se déplacer d’une case vers la droite Retourner la flèche Sortir si l’on a atteint la case 0 ou la case 1

Les Questions Est-ce que tous les Lemmings vont sortir du Labyrinthe ? Quelle proportion va rejoindre le paradis? Quelle proportion va rejoindre l’enfer ?

Est-ce que tous les Lemmings vont sortir du Labyrinthe ? On peut essayer de répondre à cette question en trouvant une décomposition du trajet du Lemming. Mouvement : suite de déplacements dans le même sens (soit vers la gauche, soit vers la droite) Trajet : suite de tous les mouvements d’un Lemming

Théorème de l’aller-retour Prenons la première case du tableau dont la flèche est orientée vers la gauche, juste avant qu’un nouveau Lemming entre dans le tableau (case c). Toutes les cases précédentes sont donc vers la droite et le Lemming va donc suivre ces cases et aller jusqu’à la case c (premier mouvement). Comme la case c est orientée vers la gauche, le Lemming va initier un nouveau mouvement. 1 2 ... c-1 c c+1 …

Théorème de l’aller-retour Or pour arriver à la case c, le Lemming aura retourné chacune des cases précédentes donc, le Lemming en suivant la consigne « vers la gauche » de la case c, va se retrouver sur une case de consigne « vers la gauche » aussi. 1 2 ... c-1 c c+1 … Ainsi, comme toutes les cases avant c sont « vers la gauche » au moment ou le Lemming atteint c.

Théorème de l’aller-retour Le Lemming va donc retourner au départ du Labyrinthe en changeant la flèche de certaines cases et tomber sur une des cases de sorties. 1 2 ... c-1 c c+1 … Notons que la sortie qu’il emprunte dépend de la parité de la case c.

Théorème de l’aller-retour Le mouvement « vers la gauche » correspond à un déplacement de deux cases vers la gauche, donc, lors du retour, le Lemming ne retombera que sur une case sur deux. Ne tombant que sur une case sur deux, le Lemming ne retournera qu’une flèche sur deux, et de la case 2 à la case c, le sens des flèches sera alterné. 1 2 ... c-1 c c+1 …

Quelle proportion va rejoindre l’enfer ? 1 2 ... c-1 c c+1 … Nous avons vu que lorsqu’un Lemming allait en enfer, les flèches étaient alternées jusqu’à la case la plus lointaine qu’il a atteinte : les flèches des cases impaires étaient tournées vers la droite et celles des cases paires vers la gauche.

Quelle proportion va rejoindre l’enfer ? 1 2 ... c-1 c c+1 … La case 2 étant paire, sa flèche est tournée vers la gauche. Le Lemming suivant ira donc directement au paradis. Lorsqu’un Lemming va en enfer, le suivant va forcément au paradis. La proportion de Lemmings en enfer est donc inférieure ou égale à ½.

Quelle proportion va rejoindre le paradis ? Après l’arrivée d’un Lemming au paradis, il y a deux cas possibles. Soit le Lemming suivant va en enfer, soit il va au paradis. Nous avons démontré que s’il va au paradis, le suivant va forcément en enfer, mais la démonstration est longue et compliquée.

Quelle proportion va rejoindre le paradis ? En résumé : Lorsqu’un Lemming va en enfer, le suivant va forcément au paradis. La proportion de Lemmings au paradis est donc supérieure ou égale à ½. Lorsque deux Lemmings vont au paradis, le suivant va forcément en enfer. La proportion de Lemmings au paradis est donc inférieure ou égale à ⅔.

Quelle proportion va rejoindre le paradis ? En résumé : La proportion de Lemmings en enfer est comprise entre ⅓ et ½. La proportion de Lemmings au paradis est comprise entre ½ et ⅔.

La suite de Fibonnacci

Case max : Case la plus lointaine atteinte par un Lemming. Sortie Max Supermax Durée du cycle 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20   ˙˙˙ Case max : Case la plus lointaine atteinte par un Lemming. Case supermax : case la plus lointaine qu’ait atteinte l’ensemble des Lemmings

La suite de Fibonnacci On constate que le nombre de Lemmings nécessaire au passage d’une case supermax n à la case supermax n+1 correspond aux nombres de la suite de Fibonnacci. Ce n’est qu’une conjecture, mais un programme informatique nous a permis de la vérifier pour les 1 134 309 149 premiers Lemmings.

La suite de Fibonnacci D’après cela, nous avons observé que la proportion de Lemmings au paradis tend vers Φ-1. Φ est le nombre d’or, nombre aux étranges propriétés, étroitement lié à la suite de Fibonnacci. 2 Φ = 1+√5 ≈ 1,618

Pour finir … Ce travail nous a amené a nous poser d’autres questions : Au bout de combien de temps un Lemming sort-il en moyenne ? Qu’en serait-il d’un Labyrinthe en plusieurs dimensions ?

Le Labyrinthe des Lemmings 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

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