Maggy Schneider Université de Liège Didactique des mathématiques : la théorie anthropologique du didactique (Y. Chevallard) 1ère partie Maggy Schneider Université de Liège

Anthropologique ? S’inscrit dans un projet de modélisation des « pratiques humaines » : activité mathématique ou actions humaines de nature didactique Accentue la posture non prescriptive de la TSD en cherchant à « briser l’illusion de naturalité des choix didactiques » mais parti-pris plus récent contre un enseignement « monumentaliste » des mathématiques Postule, comme la TSD, que « le mystère est dans les mathématiques », d’où le questionnement de celles-ci qui doivent être considérées comme « non transparentes »

Anthropologique ? Approche systémique qui prend en compte le triangle didactique « complet » : savoir, élève, professeur : « La singularité originaire de la didactique consiste à prendre comme objet premier à étudier […] non pas le sujet apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir mathématique qu’ils sont censés étudier ensemble » (M. Bosch et Y. Chevallard), D’où l’importance du concept de situation fondamentale qui modélise le savoir mathématique visé à travers ses « vraies raisons d’être »

La TAD : un cadre pour penser les aspects institutionnels de la TSD Situations didactiques : caractère fondamental éventuel caractère adidactique éventuel (milieu adidactique pour permettre la dévolution)

La relativité institutionnelle du caractère fondamental Caractère fondamental d’une situation : le savoir visé est une réponse optimale à la question posée. Dans la TAD, on parle des « vraies raisons d’être » des savoirs Postulat de la TSD : « Il existe pour tout savoir une famille se situations susceptibles de lui donner un sens correct»(G. Brousseau)

La relativité institutionnelle du caractère fondamental « Ce sens [ du savoir ] est correct par rapport à l’histoire de ce concept, par rapport au contexte social, par rapport à la communauté scientifique » (G. Brousseau) La réponse donnée à une question est relative à une « institution » (Y. Chevallard). Le savoir n’est pas absolu : il existe différents rapports institutionnels au même savoir qui transparais-sent à travers des pratiques diverses

Rapport institutionnel au savoir On ne s’autorise pas dans toutes les institutions des résolutions graphiques d’équations ou des calculs tels que :

Transposition et écologie Les pratiques mathématiques, les organisations praxéologiques sont propres aux institutions En particulier les institutions « scolaires » se démarquent des institutions savantes, d’où le concept de transposition didactique et les phénomènes associés gouvernés par l’écologie des savoirs

Rapport institutionnel au savoir D’où l’intérêt de se polariser autant sur les techniques utilisées et les discours qui les justifient que sur les concepts Et donc, de modéliser l’activité mathématique en termes de praxéologies

Modélisation de l’activité mathématique en termes de praxéologies Tâches ou types de tâches Techniques qui rendent les tâches faciles à faire Technologies : discours technologique qui légitime l’usage de la technique eu égard au type de tâches concerné, rend la technique intelligible et explore son champ d’opérationnalité Théories : fédèrent des technologies en un tout organisé

Exemple des équations du second degré Une technique « exotique » pour résoudre X2 + 10x = 39 Diviser 10 par 4 : 2,5 Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,52 x 4 = 25 Ajouter 39 : 25 + 39 = 64 Prendre la racine de 64 : √64 = 8 Retrancher 2 fois 2,5 : 8 - 2 x 2,5 = 3

Exemple des équations du second degré : recherche d’une intelligibilité de la méthode

Exemple des équations du second degré Intérêt de l’étude préalable de certaines équations du second degré qui ont une « bonne forme » Nécessité d’un discours qui montre que le but est de « ramener » d’autres équations à cette « bonne forme » D’où l’intelligibilité des manipulations algébriques faites pour démontrer les formules de résolution d’une équation générale du second degré

Rôle du discours technologique Justifier l’efficacité de la technique eu égard à la tâche visée Rendre la technique intelligible ce qui est indispensable si l’on veut savoir dans quelles conditions l’utiliser et savoir l’adapter le cas échéant (connaissances conditionnelles de J. Tardif)

Praxéologies mathématiques Exemple des automorphismes de solides Exemple des équations du second degré Exemple des fonctions homographiques Exemple des limites aux infinis des fractions rationnelles Exemple du calcul de limites

La dynamique des praxéologies Tâches complexes a priori, rendues routinières par la technique en payant le prix de la théorie (ou du discours technologique); d’où une économie de pensée Le discours technologique ou la théorie permettent de cerner le champ d’efficacité de la technique

L’exemple des techniques de proportionnalité Si 6 bonbons coûtent 15 francs, combien coûtent 10 bonbons ? Une technique discursive : Si 6 bonbons coûtent 15 francs, 1 bonbon coûte 6 fois moins, soit 15 : 6 = 2,5 francs. Si un bonbon coûte 2,5 francs, 10 bonbons coûtent 10 fois plus, soit 10 x 2,5 = 25 francs Une technique algébrique basée sur la propriété Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes : 6/10 = 15/x ou x = 10 x 15/6 = 25

L’exemple des techniques de proportionnalité Utilisation d’un tableau : Une technique de modélisation fonctionnelle : Fonction du type y = ax En remplaçant x par 6 et y par 15, on trouve a = 2,5 On cherche l’image de 10

L’exemple des techniques de proportionnalité Le peu de succès à l’école élémentaire d’un traitement algébrique des problèmes de proportionnalité s’explique par certaines habitudes culturelles : « le traitement algébrique aurait précipité la disparition d’un champ de problèmes très apprécié culturellement, devenu le symbole des mathématiques élémentaires enseignées » (Bosch)

Des praxéologies aux ostensifs La « courbe du maçon » est-elle une parabole ?

Des praxéologies aux ostensifs Deux systèmes de points modélisés par un même ostensif algébrique : Courbe du maçon modélisé par deux ensembles paramétrés d’équations : x = m et y = mx et donc par l’équation y = x2 Modèle algébrique des paraboles d’axe Oy et de sommet (0,0) : y = ax2; directrice y = - a/4 et foyer (a/4,0)

La dynamique des praxéologies liée à l’instrumentalité des ostensifs Ostensifs : tout ce qui s’appréhende par les sens (notations, mots, gestes, …) Non - ostensifs : idées, concepts, … associés aux ostensifs

Rôle des ostensifs dans l’activité mathématique Exemple des multiples notations associées au concept de fonction :

Rôle des ostensifs dans l’activité mathématique Difficultés associées à la notation « f(x) » Valence sémiotique des ostensifs : pouvoir d’évoquer, en certaines institutions, les non-ostensifs associés

Rôle des ostensifs dans l’activité mathématique Valence instrumentale de la notation « équation » : Valence instrumentale des ostensifs : ce sont des instruments qui facilitent la mise en œuvre de techniques pour réaliser des tâches

Rôle des ostensifs dans l’activité mathématique Retour aux transformations graphiques Exercice sur les notations diverses de la dérivée Débat sur « rigueur et notations »

Un regard praxéologique sur les fonctions Chez Archimède : La quadrature du segment de parabole et la cubature de la pyramide sont des problèmes différents bien que relevant tous deux de la méthode d’exhaustion

Un regard praxéologique sur les fonctions

Un regard praxéologique sur les fonctions C’est le même problème : primitive d’une fonction du second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure La détermination d’une aire sous une courbe est un modèle « standard » des problèmes relevant d’une intégrale d’une fonction d’une variable Une classification algébrique …

Un regard praxéologique sur les fonctions « Mais pour qu’on ait le droit de voir là un “ calcul intégral ”, il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géomé-triques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature de “ l’intégrand ” sous-jacent. Au XVIIe siècle, nous allons le voir, la recherche d’une telle classification devient peu à peu l’un des principaux soucis des géomètres » (Bourbaki)

Un regard praxéologique sur les fonctions Catégoriser des phénomènes d’après le type de fonction mobilisée en standardisant les notations : variables et paramètres

Un regard praxéologique sur les fonctions Regard conceptuel sur les fonctions : les ensembles et relations (fonctionnelles) sont les concepts premiers de la théorie des ensembles dans un projet d’axiomatisation, de fondement et de synthèse de toutes les mathématiques Mais les fonctions sont aussi des outils de catégorisation des phénomènes qui vont permettre d’enclencher les techniques de dérivation et de primitivation pour résoudre des problèmes variés (mais les coniques permettent la même économie de pensée) Quel point de vue à quel niveau ? A rapprocher des outils d’évaluation sur la modélisation fonctionnelle (travail sur les paramètres, …)