Simulation d’écoulements discontinus 1D en volumes finis Rudy HAYAT Tuteur : Serge PIPERNO Responsable du projet CAIMAN Directeur adjoint du CERMICS

Sommaire Présentation de l’INRIA et du projet CAIMAN Contexte du projet Théorie Résultats obtenus Conclusion

L’INRIA : Institut National de recherche informatique et automatique Différentes activités : Systèmes communicants (réseau et télécommunication, systèmes embarqués et mobilité...) Systèmes cognitifs (évolution Artificielle et Fractales, apprentissage et reconnaissance en vision par ordinateur…) Systèmes symboliques (sécurité et fiabilité du logiciel, organisation des contenus et de la langue…) Systèmes numériques (automatique et systèmes complexes, Modélisation, simulation et analyse numérique, optimisation et problèmes inverses en stochastique ou en grande dimension) Systèmes biologiques (modélisation et simulation pour la biologie et la médecine…) Transfert technologique(collaborations, logiciels et start-up)

Projet CAIMAN au sein du CERMICS CERMICS laboratoire commun INRIA/ENPC. CERMICS : Centre d’Enseignement et de Recherche en Mathématique, Informatique et Calcul Scientifique. Projet CAIMAN appartient à la branche calcul scientifique du CERMICS. CAIMAN : Calcul scientifique, modélisation et analyse numérique

Centres d’intérêt du projet CAIMAN Quatre principaux centres d’activité : Résolution rapide des équations de l’électromagnétisme Éléments finis discontinus et schéma centrés pour l’électromagnétisme en domaine temporel Volumes finis multi-échelles en espace et en temps pour l’électromagnétisme en domaine temporel Environnement plasmique des satellites Autres activités en fonction des contrats ( mécanique des fluides, aéroacoustique)

Contexte du stage Dans le but d’éviter des catastrophes comme celle du barrage de Malpasset (1959) Créer des cartographies pour les inondations Sujet important de sécurité civile Problème : Le LNHE rencontrait des problèmes de convergence lors des tests de leur algorithme en géométrie complexe.

Équations de Saint-Venant (1) Proviennent d’une intégration verticale de Navier-Stokes sous les contraintes suivantes : Fluides incompressibles Pression hydrostatique

Équations de Saint-Venant (2) On écrit la pression sous la forme : avec Le système devient ì ¶ S ¶ Q + = ï ¶ t ¶ ï x í ¶ Q ¶ æ Q 2 ö ¶ S ( x , Z ) dZ ï + ç + ÷ = ò P ( x , S ) g dz - gS f - gSJ ç ÷ ï ¶ t ¶ x è S ¶ ø x dx î

Équations de Saint-Venant (3) Nous résolvons : Avec , et

Équations de Saint-Venant (4) La jacobienne s’écrit : Avec Les vecteurs propres du systèmes sont : et

Méthodes des volumes finis 1 domaine 1D divise en N cellules Système de résolution pour le problème homogène: Avec

Comment définit-on le flux?(1) Problème linéarisé de Riemann continue. . est diagonalisable avec des valeurs propres réelles. On obtient alors et le flux s’écrit :

Comment définit-on le flux?(2) On définit le flux tel que Avec , et

Détails sur le fonctionnement du programme (1) Nous calculons la pression après avoir calculé la hauteur d ’eau. Calcul des et

Détails sur le fonctionnement du programme (2) Simulation sur le temps : avec Possibilités de résoudre 2 problèmes différents: le problème homogène ou le problème comprenant les termes sources.

Traitement des termes sources Premier Terme Deuxième Terme Schéma final

Résultats Vérifications du système au repos Le schéma ne donne pas de débit négatif La ligne d’eau ne peut pas évoluer vers le haut.

Problème de Riemann (1) Problème à résoudre Effondrement d ’un barrage sur milieu sec Données du barrage : Profil canal rectangulaire : l = 4m Longueur : L=5000m Discrétisation : 1000 points Données initiales : Hauteur d ’eau : h = 6m avant le barrage h = 0m après Conditions limites : Débit nul imposé aux extrémités Surface mouillée fixe à l ’amont et évolutive à l ’aval

Problème de Riemann (2) État initial État final

Problème de Riemann (3) Chute brutale de la ligne d ’eau

Problème de Riemann (4) Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s) Évolution du débit (m3/s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Rupture de deux barrages (1) Données du problème : Inclinaison du canal de 0.1%. Profil trapézoïdal avec évasement évolutif. Largeur de fond variable vers l ’aval de l ’écoulement . L = 4 m sur les 10/11emes de l ’écoulement puis élargissement. Longueur du canal L =6 000 m. Conditions initiales et limites : Le débit Q=10m3/s en amont. 3 sections mouillées différentes en fonction de la position dans le canal. Surfaces évolutives sur les bords de l ’écoulement. Débit évolutifs à l’extrémité aval du canal.

Rupture de deux barrages (2) État initial État final

Rupture de deux barrages (3) Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s) Évolution du débit ( m3/s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Cas de géométrie complexe (1) Nous considérons un canal rectangulaire dont le profil est le suivant : Profil de la rivière

Cas de géométrie complexe (2) Résultats obtenus pour des termes sources sans décentrage Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s) Évolution du débit (m3/s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Cas de géométrie complexe (3) Résultats obtenus avec décentrage Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s) Évolution du débit (m3/s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Conclusion Création d ’un code en Fortran 90 permettant de résoudre les équations de Saint-Venant Code fonctionnel pour le cas homogène simple et avec termes sources dans le cas de géométries simples Vérification et correction des calculs effectués par N. Goutal Implémentation des termes manquants

Perspectives Implémentation du termes de friction (Strickler) Vérification globale du programme Mise en place du code en 2D afin de pouvoir simuler des cas réels