Méthode des Ensembles de Niveaux par Eléments Finis P1 Jérôme Piovano Stage de DEA Sous l’encadrement de Théodore Papadopoulo INRIA – Sophia Antipolis Projet Odyssée

Introduction 1. Segmentation d’image Trouver des regions d’images selon certaines caractéristiques Ensembles de niveaux ou « Levels Sets » Modélise l’évolution d’une hypersurface à travers une fonction continue Application à la segmentation d’image Éléments finis Méthode d’approximation discrète de fonctions continues Implémenter la méthode des ensembles de niveaux à l’aide des éléments finis

Plan Définitions Modélisation Algorithmique Résultats Conclusion Ensemble de niveaux Éléments finis Modélisation Équations d’évolution Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale Algorithmique Notion de bande Évolution de la bande Simplification des équations Résultats Évolution par courbure moyenne Évolution pour contour géodésiques Conclusion

Ensembles de niveaux ou Définitions Ensembles de niveaux ou Levels Sets  Interface représentée par le niveau 0 d’une « fonction distance  »   Évolution de l’interface par l’intermédiaire de la fonction distance  = 1  =  Détection de contours géodésiques. Schémas par « bande » à bases de différences finies instabilité t + |r| = 0;

Définitions Méthode des éléments finis Approximation discrète d’une fonction  continue Partitionnement de l’espace en éléments formant un maillage Calcul des valeurs de  aux sommets du maillage Représentation de  par interpolation linéaire de ses valeurs aux sommet

Plan Définitions Modélisation Algorithmique Résultats Conclusion Ensemble de niveaux Éléments finis Modélisation Équations d’évolution Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale Algorithmique Notion de bande Évolution de la bande Simplification des équations Résultats Évolution par courbure moyenne Évolution pour contour géodésiques Conclusion

Calcul de la fonction distance grâce aux éléments finis Modélisation Calcul de la fonction distance grâce aux éléments finis Soit u l’approximation de la fonction distance  par élément finis u définie par 2 facteurs : Espacement constant entre ses différents niveaux Vitesse d’évolution Calculs des valeurs de u sur les sommets du maillage en minimisant une énergie associée a ces 2 termes (rxu)2 - 1 = 0 ut -  = 0

Discretisation temporelle Modélisation Discretisation temporelle Exprimer l’évolution de u sous forme discrète dans le temps. v = “Pas d’évolution” u(x, t +  t) = u(x, t) + v(x, t) v(x, t) = u(x, t +  t) - u(x, t) v(x, t) =  t ut(x, t) (rxu)2 - 1 = 0 ( rxu + rxv)2 - 1 = 0 v - t = 0 ut -  = 0

Discretisation spatiale Modélisation Discretisation spatiale Discretisation de Galerkin : Utilise des fonctions de « bases » comme des fonctions tests mesurant la déviation au voisinage du sommet auquel elles sont attachées ( rxu + rxv)2 - 1 = 0 s((ru + r v)2 - 1)i = 0 8 i 2 1 … n v - t = 0 s(v -  t)i = 0 8 i 2 1 … n Résolution d’un système de 2n équations à n inconnues qui est donc surdéterminé Résolution par moindres carrés

Reformulation des équations Modélisation Reformulation des équations On peut exprimer les équations précédente en fonction des valeurs aux sommets du maillage de u et v s((ru + r v)2 - 1)i (u + v)TQi(u + v) - si s(v -  t)i Pi v -  tsi Les vitesses  nécessitent le calcul d’une dérivée seconde théoreme de Green

Plan Définitions Modélisation Algorithmique Résultats Conclusion Ensemble de niveaux Éléments finis Modélisation Équations d’évolution Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale Algorithmique Notion de bande Évolution de la bande Simplification des équations Résultats Évolution par courbure moyenne Évolution pour contour géodésiques Conclusion

Algorithmique Adaptation du problème à un maillage 2D régulier

Algorithmique La fonction distance n’est pas calculé sur la totalité de l’espace, mais au voisinage du niveau 0 Ajout des éléments proches du niveau 0 Suppression des éléments éloignés du niveau 0

Dynamique d’évolution Algorithmique Dynamique d’évolution

Algorithmique (u + v)TQ0(u + v) Les equations d’evolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2D réguliers à des calculs par difference finies. Sur un maillage de type: 1/6((S2 - S3)2 + (S3 - S4)2 + (S5 - S6)2 + (S6 - S1)2) + 1/3((S1 - S0)2 + (S2 - S0)2 + (S4 - S0)2 + (S5 - S0)2 ) (u + v)TQ0(u + v)

Algorithmique Avantage de la methode Les equations d’evolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2D réguliers à des calculs par difference finies. Sur un maillage de type:

Fin