Dr. Anne-Sophie Van Royen Universite de Sherbrooke 16-18 Juillet 2004 Econometrie des Series Temporelles: Principes et Applications en Finance Dr. Anne-Sophie Van Royen Universite de Sherbrooke 16-18 Juillet 2004

Contact Dr. Anne-Sophie Van Royen Credit Suisse Asset Management, New York Anne-sophie.vanroyen@csam.com Tel: (212) 712 7768

Plan de cours 15 heures reparties sur 3 jours Examen Objectifs: Familiarisation avec les principaux themes d’interet en econometrie des marches financiers Modelisation et tests d’hypotheses Applications a travers exemples et exercices Le programme est charge, ne paniquez pas si vous avez du mal a absorber le programme POSEZ des questions

References Hamilton (1994) Time Series Analysis Campbell, Lo, MacKinlay (1997) The Econometrics of Financial Markets Judge, Hill et al. (1988) Introduction to the Theory and Practive of Econometrics Harvey (1993) Time Series Models

Introduction Generale Elements d’Algebre lineaire

A Priori Negatif? There are three kinds of lies - lies, damned lies and statistics.  Benjamin Disraeli Satan delights equally in statistics and in quoting scripture....  H.G. Wells, The Undying Fire

Econometrie Utilisation de donnees (variables observees) afin d’analyser les relations economiques entre diverses variables Les donnees: observations tirees aleatoirement parmi une population (individus, menages, firmes) ou unites d’observations (industries, pays, marches). Sauf dans de rares cas, les donnees sont tirees d’un echantillon reel Buts principaux: estimation des relations entre differentes variables test d’hypotheses existence de relation entre variables direction de la relation entre une variables economique – variable dependante – et ses determinants presumes importance (significativite) de la relation

Processus

Quatre Etapes Donnees Collecte et transformation des donnees= matieres premieres Les donnees sont le plus souvent observees (a distinguer des donnees experimentales / simulees generees sous des conditions pre-determinees) Specification Specification du modele: comment les donnees ont ete generees Deux composantes: 1. Modele economique specifiant quelle sont les variable dependantes et les variables explicatives - Souvent tire de la theorie economique/financiere - Eclaire par l’intuition et l’observation 2. Modele statistique: specifie les caracteristiques/forme de la relation a etudier

Quatre Etapes 3. Estimation Utilisation des donnees collectees afin d’estimer les valeurs numeriques des variables inconnues du modele 4. Inference Utiliser les valeurs estimees des parametres afin de tester des hypotheses quant aux valeurs numeriques obtenues Methode scientifique Principes et methodes necessares a toute investigation scientifique: 1. Formation de concepts directeurs 2. Conduire experimentations 3. Valider les hypotheses L’econometrie est la branche de l’economie -- the dismal science – qui se focalise sur 2) et 3)

Exemple 1 Quels sont les determinants principaux de la depense des menages en nourriture? Donnees: x echantillon de menages Pour chacun: trois variables observees foodexp = depense annuelle du menage, en milliers de dollars revenu = revue annuel du menage, en milliers de dollars hhsize = taille du menage, nombre d’individus foodexp income hhsize 1. 15.998 62.476 1 2. 16.652 82.304 5 3. 21.741 74.679 3 4. 7.431 39.151 3 5. 10.481 64.724 5 6. 13.548 36.786 3 7. 23.256 83.052 4 8. 17.976 86.935 1 9. 14.161 88.233 2

Quel type de relation existe entre ces variables? Quel est le processus statistique qui genere ces donnees? Reponse: Nous postulons que la consommation de chaque menage (notee foodexpi) peut s’exprimer comme suit: Foodexp(i)=f(income(i),hsize(i))+u(i) Quelle est la forme de la fonction f? Reponse : Nous postulons que f est une fonction lineaire• Foodexp(i)=a+b1 income(i)+b2 hsize(i)+u(i) ui: erreur d’estimation pour le menage i a,b1 et b2• sont les parametres a estimer Si les variables sont transformees en logarithme, les coefficients b sont interpretes comme des elasticites partielles

Exemple 2 Importance de la volatilite sur le marche des options Volatilite: Definie comme la variance conditionelle des taux de rendements d’un actif sous jacent Comment exprimer et estimer le comportement de la volatilite d’un actif au cours du temps? La volatilite n’est pas directement mesurable Que remarquez vous sur ce graphique?

Passer des Faits aux Modeles PAS LE CONTRAIRE Caracteristiques 1. “Volatility clusters”, la volatilite peut demeurer a un haut niveau sur une longue periode 2. Evolution continue – pas de sauts discontinus. 3. Ne diverge pas vers l’infini. 4. Asymmetrie: Reagit differemment a un choc positif ou negatif sur les rendements

Notons z le taux de rendement de l’actif Moyenne et variance conditionelle Pour simplifier, nous faisons l’hypothese Les modeles de volatilite se concentrent sur theoretically stationary means that the probability density functions of (z1,z2..)(z1+k,z2+k....) are identical for any arbitrary choice of k. That is to say, the overall behavior of the series remains the same over the time

ARCH Engle (1982). Idee principale: Les taux de rendement sont non-correles mais dependents La relation de dependence s’exprime sous une forme quadratique

Interpretation De forts taux de rendement (eleves au carre) impliquent une forte variance conditionelle. Par consequence, les taux de rendement futur tendent a avoir une forte valeur absolue De forts taux de rendement ont tendance a etre suivis par d’autres forts taux de rendement (volatility clustering) Pas de prise en compte de l’asymmetrie

Un Bon Analyste… 1) Doit etre capable de formuler ses hypotheses Justification economique des variables prises en compte Justification de la forme postulee de la relation entre variables 2) Doit etre conscient que tout n’est pas solvable par une regression lineaire 3) Au dela de l’intuition economique et financiere, doit posseder certains outils de base - Algebre, mathematiques, statistiques, notations - Outils de modelisation econometrique - Programmation

Algebre Lineaire La partie du cours tant attendue… Facilite les notations Outils de base Operations elementaires Transposition Determinant Inversion Exemple

Algebre Lineaire Source: James R. Schott Matrix Analysis for Statistics (New York: John Wiley & Sons, Inc. 1997). Une matrice A de dimension m x n correspond a un groupe rectangulaire d’elements

Notations Les elements d’une matrice sont definis par leur position en ligne et colonne Le 1er element fait reference a la ligne et le second a la colonne Ainsi, est l’element se trouvant a l’intersection de la iieme ligne et jieme colonne

Somme La somme de 2 matrices de dimensions identiques s’exprime:

Multiplication Multiplication par un scalaire: multiplier chaque element par le scalaire Multiplication matricielle: Deux vecteurs x et y peuvent etre multiplies ensemble: z (z=x y) ssi x et y sont conformables Si x est de dimension 1 x n et y de dimension n x 1, les vecteurs sont conformables Dimension de z: (m x n) X (n x p)  m x p

Extension a deux matrices A and B: Si A et B sont 2 matrices de dimensions respectives k x n et n x l, les matrices sont conformables Trouver AxB

Multiplication Ligne Colonne

Proprietes Utiles Soient a et b be scalaires, A, B, et C trois matrices. Nous avons les proprietes suivantes A+B=B+A. (A+B)+C=A+(B+C). a(A+B)=aA+aB. (a+b)A=aA+bA. A-A=A+(-A)=(0) A(B+C)=AB+AC. (A+B)C=AC+BC. (AB)C=A(BC).

Transposition La transposee d’une matrice de dimension n x m matrix est la matrice de dimension m x n ou les lignes et les colonnes sont interchangees. La transposee de A est notee A’.

Proprietes Soient a et b deux scalaires et A et B deux matrices. Nous avons: (aA)’=aA’. (A’)’=A. (aA+bB)’=aA’+bB’. (AB)’=B’A’.

Exercice Quelle est la transposee de A?

Determinant Notation technique: Ou toutes les permutations sont prises en compte

Utilisation Tres utile en statistiques Le logarithme de la distribution normale multivariee Det(Omega)

Cas simple Matrice 2x2: En utilisant la definition precedente

Inversion Definition: Une matrice A de dimension m x m telle que |A|<>0 est dite “non-singuliere” et possede une inverse notee A-1 telle que

Proprietes Si alpha est un scalaire different de zero, et A et B sont deux matrices non-singulieres: (aA)-1=a-1A-1 (A’)-1=(A-1)’ (A-1)-1=A |A-1|=|A|-1 Si A=diag(a11,…amm), A-1=diag(a11-1,…amm-1). Si A=A’, alors A-1=(A-1)’. (AB)-1=B-1A-1.

Cas Simple Inverse d’une matrice 2x2

Rang Le rang d’une matrice est le nombre de lignes ou de colonnes lineairement independantes Exemple: trois vecteurs x,y,z 2x+3y-5z=0  dependance Condition: Le determinant doit etre different de 0

Exemple |A|=0. Pour determiner le rang, nous eliminons la derniere colonne et ligne:

Valeurs Propres Les valeurs propres d’une matrice mesurent la proportion de la variance expliquee Definition: Ax=x,  est l’ensemble des valeurs propres de A. Ax=x  (A-I)x=0 Calculer x et : Calculer det(A-I)  Revient a exprimer une forme polynomiale Identifier les racines det(A-I)=0 Le rang d’une matrice est determine par le nombre de valeurs propres differentes de 0

Forme polynomiale de degre 3 Racines: 23.7 -2.7 0 A est de rang 2

Questions 1. Pouvons nous multiplier ces deux matrices? Quel type de matrice est inversible? Qu’est ce que la transposee d’une matrice et son inverse? Si une matrice ne peut pas etre inversee, quel est la valeur de son determinant?