Modeles non-lineaires Changements de Regime Modelisation

Probleme Les marches financiers peuvent se trouver dans des regimes differents: Bull and bear markets Volatilite forte ou faible Changement dans les correlations Probleme de definition d’un regime Spurious Regimes Modelisation et test Exemple: Contagion Financiere

Modelisation Modele lineaire pour chaque regime Les parametres varient entre regime 1 et 2 Specifier les processus de changment de regime Les regimes sont caracterises par variables observables: SETAR, STAR Regimes non observables: Modele de Markov

SETAR Self-Exciting Threshold AutoRegressive Model Flexibilite: skewness, kurtosis,multi-modalite pour y

STAR Smooth Threshold AutoRegressive Model Transition graduelle entre plusieurs regimes

Markov-Switching Model Regime non observe: Markov: Le regime en t est uniquement fonction du regime en t-1 Transition: Probabilites inconditionelles:

Estimation Estimer: Phi, sigma, matrice de transition et estimation des probabilites a chaque periode Les probabilites de transition sont fixes La probabilites des regime varient par periode Algorithme EM (Hamilton 1994) Methode de maximisation de la fonction de log-vraisemblance Complique, recursif Details dans Kim et Nelson (1999) “State Space Models with Regime Switching”

Illustration

Danger Spurious Regime: Detection d’un changement de regime meme lorsqu’il n’y en a pas eu Correlation Breakdown: Les correlations sont plus fortes en periode de baisse de marches (bear markets) Implication: Les gains de diversification sont exageres si l’on ne prend pas en compte le fait que les correlations augmentent en periode de crise Longin et Solnik (2001) Journal of Finance Ang et Chen (2002): les asymetries sont plus marquees pour les petites firmes, “value” stocks, et les perdants Forbes et Rigobon (1999)

U shape Boyer, Gibson, Loretan (1997)

Volatilite Ensemble des mois tels que le ratio de la variance mensuelle de x est superieure a la variance totale

Exceedance Correlations Longin et Solnik (2001) Ang et Chen (2002)

A Retenir Dangereux de detecter des changements de regime uniquement sur la base d’une partition des rendements realises Necessaire d’avoir une idee de la distribution sous jacente des rendements pour tester si le changement observe > ce que l’on attend

Methodes de Simulation Bootstrap, Jacknife

Introduction Econometrie: Un seul echantillon historique Impossible de repeter des donnees en construisant des experiences (physique) Efron (1979): considerer l’echantillon observe comme population Re-echantilloner l’echantillon

The Central Limit Theorem

Illustration CLT Choisir une distribution de probabilite Choisir nombre de groupes N Choisir R echantillons Histogramme des moyennes et ecarts type

Exemple Matlab Boucle sur N Boucle sur R n=[3,10,100]; mea=[]; for ni=1:1:3; si=n(ni); rn=[]; for z=1:1:500; rn=[rn,chi2rnd(2,si,1)]; end mea=[mea;mean(rn)]; for z=1:1:3; subplot(3,1,z); hist(mea(z,:),40); axis( [min(mea(1,:)) max(mea(1,:)) 0 50] ) Boucle sur N Boucle sur R

Application Distribution: chi-deux[2] Somme au carre de deux variables N(0,1) Z=X12+X22 Vraie moyenne = 2, Varie variance = 4 Groupes: 3, 10, 100 Echantillons: R = 500

Moyenne N=3 N=10 N=100

Variance N=3 N=10 N=100

N=3 N=10 N=100

Bootstrap – Efron (1979) Baron de Munchhausen: “Pulling oneself up by one’s bootstraps” Approche non-parametrique d’inference statistique Utiliser simulations plutot que des hypotheses sur la distribution sous-jacente Objctifs: Estimer les ecarts type, intervalle de confiance et formuler tests sur une distribution

Avantages Large applicabilite Gain de precision Cout informatique reduit

Objectifs

Procedure Standard 1. Population=echantillon 2. Tirer des echantillons aleatoires avec remplacement: taille m<n Pseudo echantillons  bootstrap 1 bootstrap 2 etc…

Suite 3. Pour chaque pseudo-echantillon, calculer la statistique d’interet 4. Utiliser la distribution empirique de la statistique T pour examiner les caracteristiques de la distribution

Exemple Taux de rendement CAN/USD dpuis 1986 Quel est l’ecart type? Std(Returns)*sqrt(48)=4.43% Obtenir intervalle de confiance?

Matlab retu=diff(log(cana)); stat_boot=[]; boot=5000; nb=size(retu,1); Up=95/100; for b=1:1:boot; R = UNIDRND(nb,nb,1); boot_sample=retu(R,1); stat_boot=[stat_boot; std(boot_sample)*sqrt(48)]; end hist(stat_boot,40); sam_sort=sort(stat_boot); ind_conf=ceil([Lo; Up]*boot); Conf_int=sam_sort(ind_conf);

Histogramme std(5%)=4.22% std(95%)=4.64% Ecart Type des Rendements Annualises Intervalle de Confiance std(5%)=4.22% std(95%)=4.64%

Block Bootstrap Si dependence dans le temps entre observations Tirer des echantillons individuels avec remplacement detruit la structure temporelle Solution: Block Bootstrap de Kunsch Tirer des echantillons de taille k {1,2,3}, {6,7,8}, {3,4,5}

Sieve Bootstrap Si le modele statistique sous-jacent est connu: X=ARMA(p,q) Estimer le modele pour obtenir residus Re-echantilloner les residus Generer pseudo-donnees X* recursivement Re-estimer le modele

Simulation AR(1) Simulation de la serie Estimation sur l’echantillon %-------------------------------------------------------- % Generer une serie AR(1) n=500; y(1,1)=0; for i=2:1:n; y(i,1)=-0.2+0.6*y(i-1,1)+normrnd(0,1); end plot(y); % Premiere etape: Estimation du coefficient xx=[ones(500,1), lag(y)]; y_reg=ols(y,xx); prt(y_reg); Reg_prem=y_reg.beta; % Coefficient Reg_resid=y_reg.resid; % Residus Simulation de la serie Estimation sur l’echantillon entier

Simulation AR(1) Boucle Bootstrap Pseudo-echantillon % Simulations nboot=1000; ar_coff=[]; for nb=1:1:nboot; nb new_samp=y(1,1); R=unidrnd(n,n,1); resid_resamp=Reg_resid(R,1); for ii=2:1:n; new_samp(ii)=Reg_prem(1)+Reg_prem(2)*new_samp(ii-1)+resid_resamp(ii,1); end; new_samp1=new_samp'; xx1=[ones(500,1), lag(new_samp1)]; boot_reg=ols(new_samp1,xx1); Boot_coeff=boot_reg.beta; % Coefficient ar_coff=[ar_coff; Boot_coeff(2)]; end Boucle Bootstrap Pseudo-echantillon

Resultats Coefficient AR(1) Coefficient Observe 0.66 Moyenne=0.655 Ecart Type=+-0.0322

Stationary Bootstrap Les donnees re-echantillonnees ne sont pas stationaires Solution: Politis et Romano (1994): Stationary bootstrap Block bootstrap avec des blocs de taille aleatoire Donnees resultantes sont stationaires

Probleme 4 Quelle taille? La taille de l’echantillon doit augmenter avec n pour rendre l’estimation fiable Hall (1995)

Cas Pratique Modelisation ECM de AUD/EUR 200 observations seulement

Exemple - Suite Objectifs: Comparer performance du modele ECM avec modele monetaires Meese et Rogoff (1983): Les modeles monetaires n’arrivent pas a battre le modele Random Walk Statistique d’interetMesure de predictabilite relative

Application

Application Predictabilite des Taux de Change

Intervalles de Confiance Distribution Normale Deciles Exemple Intervalle a 95% : trier les donnees par ordre croissant Bas = 0.025 x statistiques bootstrapees Haut = 0.975 x statistiques bootstrapees

Variations Modele de Regression Lineaire: Statistique d’interet beta1 1) Premiere Regression pour obtenir residus 2A) BOOTSTRAP NON-PARAMETRIQUE Re-Echantilloner les residus Fixer les X, Y*=Y+U** est la nouvelle variable dependente Regresser Y* et X Sauver le coefficient 2B) BOOTSTRAP PARAMETRIQUE Tirage de U** a partir de la distribution Normale Meme procedure

Autres Methodes Jackknife (take one out) S={X1,X2,...Xn} Tirer un echantillon de taille n-1 S(i)=S-{Xi} Estimer Calculer