Caracteristiques des donnees Financieres Tests Series Temporelles Caracteristiques des donnees Financieres Tests

Comportement des Series Financieres La base de l’analyse repose sur les taux de rendements Raison Concurrence parfaite, pas de rendements d’echelle Comportement distinct des rendements et des prix facilitant la construction de modeles de prevision Se mefier des prix (analyse en niveau) !

Exemples

Caracteristiques des Prix ‘Trends’ et renversements de tendance Pas de retour a la moyenne Volatilite augmente avec le temps (infinie) Exemple: Ecart type AUD/USD hebdo 1986-1994: 10.5% 1994-2002: 22.4% Decroissance tres lente des autocorrelations sur echantillon fini NON STATIONARITE

Rendements

Carateristiques des Rendements Definition en temps discret: R(t)=P(t)/P(t-1)-1 En temps continu: r(t)=log(Pt)-log(Pt-1) Rendement cumule entre 2 periodes: r(k periodes)=r(1)+r(2)+...r(t-k+1) Pas de tendance Evolution autour d’une moyenne constante Sur grand echantillon, volatilite constante STATIONARITE

Stationarite Faible: Definition Soit y une variable aleatoire stationnaire au sens faible Moyenne: E(yt)= Variance: E[(yt-)2]=2= (0) Autocovariance: E[(yt-) (yt-k-)]=(k) Autocorrelations: (k)=(k)/ (0) Les series temporelles sont le plus souvent analysees sur la base de leur fonction d’autocorrelation Meme information, meme forme

Ergodicite Des valeurs separees par un grand intervalle de temps doivent etre peu correlees Decroissance des autocorrelations Moyenne et variance calculees sur un echantillon donnent une estimation consistente des vraies valeurs des parametres

Autocorrelations

Marche Aleatoire Efficience de marche Roberts (1967): The information set includes all information known to all a participants Pas de profits ‘excessifs’ par des agents informes Black (1971): If the price is going up, it should move up all at one, rather than in a series of small steps Samuelson: ‘Perfectly anticipated prices fluctuate randomly) Hypothese continuellement testee par les chercheurs

Demonstration Samuelson (1965): Le prix P(t) est fonction d’une variable fondamentale V Iteration des esperances de rendements P(t)=E(V* | I(t) )=Et(V*) P(t+1)=E(V* | I(t+1) )=Et+1(V*) Et(P(t+1)-P(t))= Et(Et+1(V*))- Et(V*)=0

Lien avec Calcul Stochastique P(t+1)=a+ P(t)+e(t+1) E( P(t)| P(0))=P(0)+at Var( P(t) | P(0) )=s2t Si e est distribue selon N(0, s2) le prix suit un processus Brownien arithmetique dP(t)=a t + s dB(t) avec B processus de Wiener Si P est Brownien geometrique: dP/P suit une marche aleatoire

A Retenir La majorite des modeles d’econometrie financiere sont valides sous hypothese de stationarite Necessaire de tester la stationarite des donnees avant l’application de modeles

Spurious Regression Ordinary Least-squares Estimates R-squared = 0.4525 Rbar-squared = 0.4518 sigma^2 = 9924.5860 Durbin-Watson = 0.0148 Nobs, Nvars = 840, 2 ********************************************************* Variable Coefficient t-statistic t-probability Constante 878.008157 49.949349 0.000000 Coefficient -71.666313 -26.315765 0.000000

Spurious Regression Y=MSCI Australie X=Taux d’interet en Allemagne Aucune relation economique Forte relation statistique

Exemple Y2t= Y2t-1+ut Y1t= Y1t-1+vt Estimation par Moindres Carres Ordinaires Y2t=a+b Y1t+zt (a,b)=ArgMin(zt’zt) Avec des tests conventionels a 5%, l’hypothese nulle b=0 est rejetee dans 75% des cas

Identification du Probleme Le test de Durbin Watson= test d’autocorrelation d’ordre 1 des residus et= et-1+ft Si  0 violation des conditions MCO et le coefficient de regression est biaise, les erreurs sont sous-estimees  =0: Valeur attendue=2 < 2 s’il y a autocorrelation positive (au pire=0) Entre 2 et 4 si autocorrelation negative

Premiere Solution 1) Inclure les valeurs passees dans la regression Y2t=a+a1 Y2t-1+ b1Y1t+b2 Y1t-1+ht Les coefficients b1 et b2 convergent vers leurs vraies valeurs T test est asymptotiquement N(0,1) Mais le test joint F sur b1 et b2 a une distribution non standard

Meilleure Solution 2) Differencer les variables afin qu’elles soient stationaires Y2t =a+b Y1t +ut ut est stationaire Comportement attendu des tests t et F

Ordre d’Integration Une serie stationaire apres differentiation simple est integree d’ordre 1: I(1) Si stationaire apres d differentiations est integregree d’ordre d: I(d) Une serie stationaire est notee I(0) Yt=a+Yt-1+et I(1) Yt = Yt- Yt-1=a+et I(0)

Test Traditionnel 1000 observations Yt=0.5+0.99 Yt-1+et t test nous informe si b0, et non b=1 Ordinary Least-squares Estimates R-squared = 0.9932 Rbar-squared = 0.9932 sigma^2 = 1.0354 Durbin-Watson = 2.0547 Nobs, Nvars = 1000, 2 *************************************************************** Variable Coefficient t-statistic t-probability variable 1 0.499668 4.114123 0.000042 variable 2 0.990018 381.212149 0.000000

Test de Dickey Fuller Yt=b0+b1 Yt-1+et Determiner si b1=1 (racine unitaire) or <1 (stationarite) Soustraire Yt-1 des deux cotes Yt- Yt-1= b0+(b1-1) Yt-1+et Yt=b0+ Yt-1+et Test: H0: =0 Racine Unitaire H1: <0 Stationarite

Tests Complementaires Tester 3 types de specification 1) Marche aleatoire pure Yt= Yt-1+et 2) Random walk with drift Yt=b0+ Yt-1+et 3) Random walk with drift and deterministic trend Yt=b0+ Yt-1+ct+et

Test ADF Augmente par inclusion d’autocorelation d’ordre superieur a 1 Yt=b0+b1 Yt-1+b2 Yt-2 +et Le test DF est biaise car les residus sont autocorreles Rajouter les differences jusqu’a ce que l’autocorrelation disparaisse Yt=b0+ Yt-1+1 Yt-1 +… n Yt-n +et

Exemple 1 Le modele le plus approprie est probablement RW with drift and trend

Exemple 2 Pas de tendance Le meilleur modele semble etre un RW with drift

Taille de l’Echantillon Taille versus frequence Simulation: yt=+0.7+0.95*yt-1+ et La serie est stationaire Nbre de fois hypothese de racine unitaire est rejetee? Conclusion de + en + forte que la serie est I(1)