Information, Calcul, Communication Ce videoclip produit par l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne fait partie de son cours d’introduction à l’information, à la communication, et au calcul. Il s’inscrit dans le 2e module du cours qui porte sur les notions d’échantillonnage et de reconstruction de signaux puis introduit les notions d’entropie et de compression de signaux. Information, Calcul, Communication 2. Information & Communication – Leçon 1: Echantillonnage Clip 5: Echantillonnage O. Lévêque, commentaire: P. Janson

Plan de la leçon 2.1 Signaux Fréquences, bande passante, spectre Filtrage Echantillonnage Fréquence d’échantillonnage Ce 4e clip de la leçon aborde enfin le thème visé de l’échantillonnage d’un signal.

Echantillonnage d’un signal => Notre question initiale: Comment représenter / capter la réalité physique avec des bits ? Les signaux qui nous entourent sont de nature analogique (ondes sonores, électromagnétiques) Or un ordinateur ne peut traiter que des données numériques (codées sous forme de nombres (binaires)) Pour pouvoir traiter l’information contenue dans un signal (X(t), t∈ R) il faut - Echantillonner le signal à des instants discrets - Quantifier les valeurs du signal à ces instants => Importante question subsidiaire: Que perd-on du signal original à travers ces deux opérations successives ? La 1e question à laquelle la présente série de videoclips tente de répondre est en effet: Comment représenter / capter avec des bits une fonction produite par une réalité physique? 1 Les signaux qui nous entourent, tels que par exemple ondes sonores et électromagnétiques sont de nature analogique, c.à.d. que ce sont des fonctions généralement continues. 2 Mais un ordinateur ne peut traiter que des données numériques, binaires en pratique. Il peut calculer et représenter la valeur d’un sinus pour certaines valeurs d’angles ponctuelles. Mais pour la majorité des valeurs d’angles réelles, il ne peut calculer et manipuler qu’une valeur approximative du sinus correspondant. 3 Pour pouvoir se représenter et traiter l’information contenue dans un signal (X(t), t∈R), un ordinateur doit donc « échantillonner » le signal à des instants discrets et « quantifier » (c.à.d. mesurer) les valeurs de ce signal à ces instants. 4 Nous discuterons même dans un clip ultérieur une importante question subsidiaire: perd-on quelque chose, et si oui quoi, quand on échantillonne et quantifie un signal?

Quantification de l’échantillonnage 1 Considérons un signal réel, physique, analogique quelconque … 2 L’échantillonner signifie en observer les valeurs à des intervalles réguliers comme suggéré par les points rouges sur cette figure qui sont alignés sur des points discrets de l’axe horizontal du temps. 3 Quantifier ces échantillons signifie convertir les valeurs observées, nécessairement des nombres réels, en des nombres discrets, en l’occurrence binaires, qui ne peuvent, le plus souvent, être que des approximations des valeurs réelles des échantillons relevés, à leur tour alignées sur des points discrets de l’axe vertical des amplitudes. Signal original Signal échantillonné Echantillons quantifiés

Fréquence d’échantillonnage Les points discrets de l’axe horizontal du temps auxquels on relève les échantillons sont séparés par des intervalles réguliers. Ces intervalles sont ce qu’on appelle la période d’échantillonnage Te du signal. Leur inverse 1/Te est ce qu’on appelle logiquement la fréquence d’échantillonnage du signal, fe. Si un signal original est une fonction du temps X(t), le temps étant une variable continue et donc réelle, Le signal échantillonné sera une fonction discrète (X(nTe) de la variable nTe qui, elle, évolue non pas de façon continue mais par bonds entiers et discrets de Te unités de temps. Te Te Te Te Te Te Te Te Signal entrant (X(t), t∈ ℝ) → signal échantillonné (X(nTe), n∈ ℤ) Te =période d’échantillonnage fe = 1/Te = fréquence d’échantillonnage

Période d’échantillonnage Quelle période d’échantillonnage Te est la « bonne » ? Te trop petite: trop d’information à traiter... Te trop grande: de l’information est perdue... LA grande question sur un tel processus d’échantillonnage est: Quelle est une bonne période d’échantillonnage pour un signal donné. Il est intuitivement évident que plus on échantillonne un signal fréquemment, plus on permet de le représenter avec exactitude. Par contre cette exactitude a tout aussi évidemment un prix. Plus on relève d’échantillons par unité de temps, plus le nombre d’échantillons à stocker ou à transmettre augmente et donc plus cela consommera de temps de transmission ou d’espace de stockage. Inversement si on échantillonne un signal donné trop rarement il est tout aussi évident que l’image qu’on peut s’en faire est de moins en moins fidèle. En échantillonnant par exemple la luminosité du ciel une seule fois par semaine, on ne permettrait jamais à un extra-terrestre de comprendre que nos semaines sont faites de 7 jours et 7 nuits.

Période limite d’échantillonnage Exemple: reprenons le signal vu précédemment X(t) = sin(4πt) + 1/2 sin(8πt) + 1/3 sin(12πt) + 1/4 sin(16πt) Il existe en fait une relation claire entre la période d’échantillonnage minimale d’un signal et la fréquence de ce signal. Pour le comprendre intuitivement, considérons à nouveau un signal somme de sinusoïdes. L’amplitude de ce signal est dominée par une composante de fréquence 2 Hz. 1 Si on l’échantillonne tous les 5 centièmes de secondes, on voit qu’on obtient une suite de points (d’échantillons) qui «collent» assez précisément au signal original. 2 Si on l’échantillonne tous les dixièmes de secondes, on obtient une suite de points qui «collent» toujours assez précisément au signal original. Par contre les fluctuations dues aux fréquences secondaires sont perdues. 3 Si on l’échantillonne ensuite tous les 2 dixièmes de secondes, on garde toujours une certaine idée de la fréquence dominante. Par contre de plus en plus de détails sont perdus. 4 Enfin si on échantillonne tous les quarts de secondes, c.à.d. à une fréquence double de la fréquence dominante du signal on perd toute information et toute idée du signal original. Comme on va le voir dans les clips suivants ce rapport de 2 entre fréquence d’échantillonnage et fréquence du signal joue un rôle fondamental. Te = 0.05 sec Te = 0.1 sec Te = 0.2 sec Te = 0.25 sec