Cristaux désordonnés On considère un cristal désordonné 𝐴 𝐪 = 𝑢𝑣𝑤 𝐹 𝑢𝑣𝑤 (𝐪)e −𝑖𝐪∙ 𝐑 𝑢𝑣𝑤 = 𝑛 𝐹 𝑛 (𝐪)e −𝑖𝐪∙ 𝐑 𝑛 Ordre à grande distance mais contenu des mailles dépend de Ruvw 𝐹 𝑛 ≠ 𝐹 𝑛′ Réseau désordonné atomes A et B FA=1 et FB=2 𝐴 𝐪 2 Tache de Bragg |S(q)|2 « Speckle » ou tavelure dû au désordre 1ère zone de Brillouin

Exemple de Diffusion diffuse Cristal de C60 à 300 K Réflexions de Bragg + Diffusion diffuse Cliché de précession du plan réciproque h+k+l=0

Expression générale de l’intensité diffusée Calcul de l’intensité instantanée 𝑨 ∗ 𝒒 𝑨 𝒒 = 𝑛 𝑛 ′ 𝐹 𝑛 ∗ 𝐹 𝑛 ′ 𝑒 −𝑖𝒒∙( 𝒓 𝑛 ′ − 𝒓 𝑛 ) = 𝑛𝑚 𝐹 𝑛 ∗ 𝐹 𝑛+𝑚 𝑒 −𝑖𝒒∙ 𝒓 𝑚 = 𝑚 𝑁(𝑚) 1 𝑁(𝑚) 𝑛 𝐹 𝑛 ∗ 𝐹 𝑛+𝑚 𝑒 −𝑖𝒒∙ 𝒓 𝑚 −𝒓 𝑚 = Valeur moyenne stat. + fluctuations 𝑉 𝒓 𝑚 1 𝑁(𝑚) 𝑛 𝐹 𝑛 ∗ 𝐹 𝑛+𝑚 = 𝐹 𝑛 ∗ 𝐹 𝑛+𝑚 + Δ 𝑚 𝐼 𝒒 = 1 𝑣 𝑚 𝑉 𝒓 𝑚 𝐹 𝑛 ∗ 𝐹 𝑛+𝑚 𝑒 −𝑖𝒒∙ 𝒓 𝑚 + 1 𝑣 𝑚 𝑉(𝑚) Δ 𝑚 𝑒 −𝑖𝒒∙ 𝒓 𝑚 Terme de « Speckle », seulement visible en conditions de cohérence Hypothèse ergodique : Expression générale de l’intensité diffusée … 𝑆𝑡𝑎𝑡 = … 𝑡

Comment mesurer les tavelures ? Le désordre doit être statique à l’échelle de la mesure Le détecteur doit « résoudre » les speckles. Distance interfrange Dq=2p/a (donnée par |S(q)|2) Distance sur le détecteur : ld/a Le faisceau doit être suffisamment cohérent : 𝑎< 𝜉 𝑡 = 𝜆𝐷 𝜎 et 𝛿 <𝜉 𝑙 = 1 2 𝜆 2 ∆𝜆 Speckles dans un alliage AuAgZn2 F. Livet et al. 𝑎 𝜆 𝑎 S 𝐷  𝑑 T Si ces conditions ne sont réunies, les tavelures sont lissées Diffusion diffuse

Fn écart à la valeur moyenne de Fn Diffusion diffuse Φ 𝑛 = 𝐹 𝑛 − 𝐹 𝑛 Fn écart à la valeur moyenne de Fn 𝐹 𝑛 ∗ 𝐹 𝑛+𝑚 = 𝐹 𝑛 ∗ + Φ 𝑛 ∗ 𝐹 𝑛+𝑚 + Φ 𝑛+𝑚 = 𝐹 2 + Φ 𝑛 ∗ Φ 𝑛+𝑚 𝐼 𝒒 = 𝐹 2 ℎ𝑘𝑙 Σ(𝒒− 𝑸 ℎ𝑘𝑙 2 𝑣 2 + 1 𝑣 𝑚 𝑉( 𝒓 𝑚 ) Φ 𝑛 ∗ Φ 𝑛+𝑚 𝑒 −𝑖𝐪 ∙𝐫 𝑚 ID(q) : Diffraction IDD(q) : Diffusion diffuse

Écart à la périodicité parfaite Si le désordre est peu corrélé : Diffusion diffuse : Écart à la périodicité parfaite 𝐼 𝐷𝐷 𝒒 = 1 𝑣 𝑚 𝑉( 𝒓 𝑚 ) Φ 𝑛 ∗ Φ 𝑛+𝑚 𝑒 −𝑖𝑞 ∙𝑟 𝑚 Si le désordre est peu corrélé : Si lim 𝑛→∞ Φ 𝑛 ∗ Φ 𝑛+𝑚 =0, 𝑉( 𝒓 𝑚 )≅𝑉 Diffusion diffuse ~ N Diffraction proportionnelle ~ N2 𝐼 𝐷𝐷 𝒒 =𝑁 𝑚 Φ 𝑛 ∗ Φ 𝑛+𝑚 𝑒 −𝑖𝑞 ∙𝑟 𝑚

Deux types de désordre Désordre de déplacement Désordre de substitution

Désordre de déplacement : les phonons Théorie harmonique Potentiel d’interaction U rn(t)= rn+ un(t) Déplacements des atomes N : nombre de mailles M : masse de l’atome k : vecteur d’onde du mode de phonon eak : polarisation du mode qak : coordonnées normales

Rappel phonons w(k) k Théorie harmonique Longitudinal Transverse -p/a optique TO X 2 10 Thz LA acoustique k TA X 2 Théorie harmonique -p/a p/a

Intensité diminuée du facteur e-2W Facteur Debye-Waller Un atome à l’origine 𝐹 𝑛 (𝐪) =𝑓 𝑒 −𝑖𝐪⋅ 𝐮 𝒏 Cristal harmonique 𝑒 −𝑖𝐪⋅ 𝐮 𝒏 = 𝑒 −1/2 𝐪⋅ 𝐮 𝒏 2 𝐹 𝑛 (𝐪) =𝑓 𝑒 −𝑊 𝐼 𝐪 =𝑁 2 𝐹 𝑛 (𝐪) 2 = 𝑁 2 𝑓 2 𝑒 −2𝑊 Intensité diminuée du facteur e-2W Im 𝑒 −𝑊 Re N Facteur Debye-Waller Re q grand, T grand

Facteur Debye-Waller-2 Maille contenant n atomes en rj 𝐹 𝑛 (𝐪) = 𝑗 𝑓 𝑗 𝑒 − 𝑊 𝑗 𝑒 −𝑖𝐪⋅ 𝐫 𝑗 ID e -2W 𝑊 𝑗 = 1 2 𝐪⋅ 𝒖 𝑗 2 = 1 2 𝑞 2 𝑢 𝑗𝑞 2 Vibrations isotropes 𝑢 𝑗 2 = 𝑢 𝑥𝑗 2 + 𝑢 𝑦𝑗 2 + 𝑢 𝑧𝑗 2 =3 𝑢 𝑗𝑞 2 𝑊 𝑗 = 1 2 𝑞 2 𝑢 𝑗𝑞 2 = 1 6 4𝜋 sin 𝜃 𝜆 2 𝑢 𝑗 2 ≡ 𝐵 𝑗,𝑇,𝑖𝑠𝑜 sin 𝜃 𝜆 2 𝐵 𝑗,𝑇,𝑖𝑠𝑜 = 8 𝜋 2 3 𝑢 𝑗 2 Diffraction permet de mesurer :

𝑊= 𝑞 2 𝑁 𝐤 𝑘 𝐵 𝑇 2𝑀 𝜔 2 (𝐤) ∝ sin 𝜃 𝜆 2 ℎ 2 𝑇 2𝑀 𝑘 𝐵 𝑇 𝐷 2 Calcul de W Théorème d’équipartition de l’énergie Les phonons lents ont une grande amplitude 𝑊= 𝑞 2 𝑁 𝐤 𝑘 𝐵 𝑇 2𝑀 𝜔 2 (𝐤) ∝ sin 𝜃 𝜆 2 ℎ 2 𝑇 2𝑀 𝑘 𝐵 𝑇 𝐷 2

Dans l’approximation de Debye Approximation classique 𝑊= sin 𝜃 𝜆 2 6ℎ 2 𝑀 𝑘 𝐵 𝑇 𝐷 1 4 + 𝑇 𝑇 𝐷 Φ( 𝑇 𝐷 𝑇 ) Φ 𝑇 𝐷 𝑇 = 𝑇 𝑇 𝐷 0 𝑇 𝐷 𝑇 𝑦 𝑒 𝑦 −1 𝑑𝑦 avec Si T >> TD Approximation classique 1 𝑊= sin 𝜃 𝜆 2 6ℎ 2 𝑇 𝑀 𝑘 𝐵 𝑇 𝐷 2 0.5 𝐼∝ 𝑒 −𝑊 ⇒ ln 𝐼 ∝−𝑇 0.5 1

Exemple 1 : Détermination de TD Intensité des réflexions (h00) de l’Al Écart dû aux vibrations de point zéro TD ~ 400±5K R.M. Nicklow et R.A. Young, Phys. Rev. 152, 591–596 (1966)

Exemple 2 : Critère de Lindemann Solide fond quand : Aluminium c.f.c. a=4.04 Å Fusion

B anisotropes : Exemple 3 : Ex : Métaux usuels : Composés organiques : dépend de la direction ClO4

Influence de la dimensionalité-1 Debye, isotrope Théorie harmonique Intégrale gouvernée par la divergence de

Influence de la dimensionalité-2

Influence de la dimensionalité-3 Pas d’ordre à grande distance si D  2 D=1 D=2 D=3