Transport thermique

Contexte Miniaturisation de transistors → Problème auto-échauffement local + due à l’émission de phonon par électrons chauds + Réduction de mobilité d ’électrons (Si : μe~ T-3/2) et performance non-optimale de dispositifs Méthode pour résoudre problème thermique : + Echelle macroscopique : Loi de Fourrier + Echelle micro à nano : BTE + Echelle nano (qqs nm) : Fonction de Green → BTE est un candidat approprié pour décrire le transport de phonon Non-optimal : (dégradation de caractéristiques de dispos, «échec » de d‘interconnect avec contact métallique …) - Les terme de BTE : vitesse, force, variation de fonction de distribution dûe à collision. Le terme G qui concerne à l’interaction el-phonon qui est important pour résoudre ce problème d’auto-échauffement. - MC simulation pour le transport d’électrons à l’équilibre et hors-équilibre et pour évaluer la génération de phonon par interaction électron-phonon.* - BTE pour la transport de phonons

Quantités physiques obtenues de E-MC 6 nm 20nm 100nm 5x1019 cm-3 1015 cm-3 TSiO2 = 1.2nm MC pour les électrons nous donne des grandeurs physiques comme : potentiel, champ électrique, concentration et aussi la température des électrons dans dispo simulé

Génération donnée par E-MC 6 nm 20nm 100nm 5x1019 cm-3 1015 cm-3 TSiO2 = 1.2nm Vg = 0.7V Vds = 1.0V Puissance - Vds Longueur de relaxation Plus la polarisation est forte, plus le scattering est important et plus le transport est hors-équilibre. Pour bien voir la longueur de relaxation, on a simulé un dispo. Dissymétrique : S20-C20-D100 avec dopage de 5e19 aux accès, et de 1e15 au canal.

Distribution spatiale de phonons émis 6 nm 20nm 100nm 5x1019 cm-3 1015 cm-3 TSiO2 = 1.2nm Vg = 0.7V, Vds = 1.2V Emission de phonon principalement dans le drain. Elargissement de plage d’énergie émise à fort champ (au début du drain). on calcule la dissipation thermique dans DG-MOSFET Le potentiel S-D est 1,2V et le potentiel de grille est 0.7V. La cartographie de phonons générés est tracée en fct d’énergie de phonon à chaque position. Pendant le processus d'accélération le long du dispo, des électrons gain d'énergie et génèrent des phonons près du drain et dans le drain. Elargissement de plage d’énergie émise à fort champ

Equation de Boltzmann (BTE) Approximation semi-classique -> Fonction de distribution f(r,k,t) Evolution de f(r,k,t) -> BTE Résolution directe vs. Résolution stochastique + Pour électrons : 3D dans l’espace réciproque (même dans l’espace réelle 2D) -> coût de ressource informatique -> résolution stochastique + Pour phonons : pas de force F -> 2D en espace réelle (film) -> résolution directe Ou E(k) est la relation de dispersion Variation de f dûe aux collisions Taux net de génération (E-P interaction) Approx. de temps de relaxation (RTA) - Dans l’approx classique, si des porteurs comportent comme des particules, on devrait connaître leurs positions et leurs moments (ou vecteur d’onde) en fct du temps. On définit alors la fct de distribution f(r,k,t) qui présente la probabilité ‘avoir une particule positionné dans l’espace aux coordonnées r et vecteur d’onde k a l’instant t. A l’equilibre, cette fct se résume à la distribution Fermi-Dirac. - Hors équilibre, on doit déterminer l’évolution des fct de distribution, c-a-d résoudre BTE. Les termes dans BTE: vitesse, force, variation de f du a collision (pour ce terme, on utilise souvent l’approx. De temps de relaxation), terme de génération/recombinaison. Pour résoudre BTE, on a 2 résolution: directe et stochastique. Pour électron, même dans le cas 2D en espace réelle, on doit résoudre BTE en 3D dans l’espace réciproque, c-t-d, on a des matrices 3D. Donc, c’est pas facile d’en faire. La résolution stochastique est un bon choix. Pour phonon, on a pas de force -> le terme de F est éliminé. Donc, dans l ’espace réelle 2D, on peut résoudre BTE de facon directe.

Approximation RTA BTE par mode en utilisant Relaxation Time Approximation Equation de Fourier BTE « directe » : (rx,ry,rz,qx,qy,qz) ex : matrice 306 X306 = 7290000002 - On veut résoudre BTE dans l’approximation de temps de relaxation pour chaque mode de phonon. Le terme dans le cercle rouge est le terme de scattering dans cette approx. Cette équation devrait nous donner la partie non-équilibre de transport de phonon. Ici, le température de scattering est la température du réseau à introduire dans ce terme. Elle est donnée par l’équation de Fourrier. - BTE nous donne la distribution de phonon. En comparant le nb. Total de phonon avec la distribution Bose-Einstein, on obtient la température effective. Eq. de Fourier -> Tscatt utilisé dans RTA pour BTE

Harmoniques sphériques d’ordre 1 Développement harmoniques sphériques : ordre 1 BTE «  harmoniques  » : (rx,ry,q) ex : matrice 303 X303 = 270002 Eq. de Fourier -> Tscatt -> BTE « directe ou harmonique » => distribution de phonons

Et la température ? En physique, elle se définit de plusieurs manières : comme fonction croissante du degré d’agitation thermique des particules (en théorie des gaz) (T=2/3.Ec/kb), par l’équilibre des transferts thermiques entre plusieurs systèmes ou à partir de l’entropie (en thermodynamique et en physique statistique) (T=dU/dS|V,n) (cf wikipedia) Mais hors équilibre ????? Ici, nombre de phonons par mode -> Tmode , nb. total de phonons -> Teff Autre inversion N(q) avec la distribution de Bose-Einstein

Nécessiter : ζ(q) : temps de relaxation : relation de dispersion Relation de dispersion (Pop JAP 2004) • Temps de relaxation (Holland PRB 1963) Libre parcours moyen

Mise sous forme matricielle Discrétisation : Décompositions spatiales: + Nœud selon x : 1, 2, 3, … Nx + Nœud selon y : 1, 2, 3, … Ny Le vecteur n dimensions Nx*Ny : nt = n1,1 n1,2… n1,Ny n2,1 … n2,Ny … ni,j …nNx,1 …nNx,Ny Décomposition de dérivée : On peut maintenant écrire l’équation (2) sous la forme discrétisée : avec i = 2 :(Nx-1) et j = 2 :(Ny-1). Tg Td adiabatique + Condition aux limites

Résolution numérique H.N=C => N=H-1.C Taille de matrice -> mémoire + temps de calcul H.N=C => N=H-1.C

BTE directe : Température vs longueur Nous Narumanchi Lacroix Trans. ASME 2004 Résoudre BTE transitoire pour énergie PRB 2005 Résoudre BTE ss approx. par méthode MC Résoudre BTE directe en utilisant Tscatt donnée par Eq. de Fourrier Nous : résultats en cohérence avec les résultats de BTE transitoire. Le transport est moins balistique dans notre résolution de BTE (numérique) que dans le modèle de Lacroix (méthode Monte Carlo)

BTE directe : Régime Diffusif L = 4 μm Spectres en q Spectres en q quasi symétriques, quasi équilibres

BTE directe : Régime balistique L = 2 nm Spectres en q Spectres en q dissymétriques, hors équilibres

BTE harmonique Profil de température le long du barreau L = 2 μm L = 2 nm Régime diffusif - > Ok Régime balistique -> BTE harmonique n’est pas validé.

Longueur du drain Vds = 1.5 V, Vg = 0.7 V S20-C20-D100 S20-C20-D50

Effet de la longueur de drain BTE directe Vds = 1.0 V, Vg = 0.7 V S20-C20-D50 S20-C20-D100 S20-C20-D20 BTE harmonique

Effet de la longueur de drain Vds = 1.5 V, Vg = 0.7 V BTE directe S20-C20-D100 S20-C20-D50 BTE harmo S20-C20-D20 - Transport de LA est plus favorisé par BTE directe que par BTE harmo

Comparaison T – S20-C20-D100 Vds BTE Teff Tfour TLA TTA TLO TTO Vds1.0 Vg0.7 Directe 342.2 340,6 344.1 341.0 341.2 334.4 Harmo 342,4 344,3 341,3 342 346,2 Vds1.5 Vg0.7 371.0 363 379.8 366.1 364.2 369.3 369,4 376,4 365,1 387 Dans le cas d’un dispositif avec le drain assez longue (voir bien la longueur de relaxation), températures obtenues par BTE directe et BTE harmo … Dans le cas d’un dispositif avec le drain assez longue (voir bien la longueur de relaxation), températures obtenues par BTE directe et BTE harmonique sont près.

Comparaison T – S20-C20-D20 Vds BTE Teff Tfour TLA TTA TLO TTO Vds1.0 Vg0.7 Directe 309,5 305,2 313,8 307,1 307.8 308,9 Harmo 312,5 312,1 311,2 321,3 Vds1.5 Vg0.7 331,1 313,7 344,9 324,1 322 342.5 337 336 329 330 368 Raison : BTE harmo n’est plus exacte à des longueurs plus courtes que libre parcours moyen de phonons. BTE harmonique : sur- estime les températures des 4 types de phonons et en conséquence Teff par rapport à BTE directe.

Transport hors-équilibre BTE directe Vds=1.5, Vg = 0.7 BTE harmonique On compare la fct d’occupation à 300K et à partir de nb. de phonon obtenu bar simul. Dans le drain, notre model montre que les 4 modes sont loin d’état équilibre. Ils tendent au régime équilibre au fur et à mesure le long du dispositif. Les 2 BTE montre l’effet hors- équilibre le long du dispositif. Au point « chaud », les 4 modes sont loin d’état équilibre. Ils tendent au régime équilibre au fur et à mesure le long du dispositif. Le fait que LA est plus favorisé par BTE directe que par BTE harmonique, le transport de LA est plus hors- équilibre en résolvant BTE directe .

BTE directe : transport hors-équilibre Vds S20-C20-D20 Vds=1.5, Vg = 0.7 Vds=1.0, Vg = 0.7 Plus champ est fort, plus transport est hors équilibre.

BTE directe : Flux thermique S20-C20-D50 Vds=1.5, Vg = 0.7 - Le flux thermique est la quantité d’énergie qui traverse une surface isotherme par unité de temps. Importance de LA Rapport de flux + Le long du dispositif : + Au point « chaud » :

A faire … Couplage électron-phonon dans Monaco eMC Scattering E-P Taux net de génération de phonon Entrées pour BTEP Scattering p-p Distribution de phonons Scattering e-p pour eMC Convergence de courant … ?