Chapitre 6: Dioptres sphériques

6.1 Intérêt des systèmes optiques sphériques: dispositifs très largement utilisés (loupe, jumelles, objectif photographique, …) dispositifs assez facilement réalisés par polissage sphère sur sphère Extension simple aux autres éléments optiques (lentilles, miroirs sphériques, …) et utilisation dans les instruments (par exemple l’œil).

6.2 Propriétés Approximation de Gauss vérifiée Equivalent au dioptre plan pour un rayon de courbure infini Equivalent au miroir sphérique pour n’ = -n

6.3 Définitions du dioptre sphérique D(S, C, n, n’) Axe Optique S Centre de courbure Sommet intersection de l’axe optique et de la surface du dioptre.

6.4 Invariant Fondamental Rappel sur les égalités dans les triangles: B J v w I t u A C

6.4 Invariant Fondamental S C A I N i1 w a’ i2 u v a Dans le triangle AIC: Axe Optique A’ Dans le triangle A’IC:

6.4 Invariant Fondamental Finalement, Avec la loi de Snell-Descartes, la combinaison des deux relations s’écrit, Cette relation, appelée invariant fondamental, se met sous la forme

6.5 Formule de conjugaison On se place dans les conditions de Gauss. Dans ce cas: I S A A’ on admet que les angles a et a’ sont petits et que les points I et S sont proches. Alors:

Avec les formules de décompositions suivantes: l’invariant fondamental devient: En manipulant cette écriture, il vient: soit encore la relation de conjugaison du dioptre sphérique:

La relation de conjugaison du dioptre plan est donc: 6.6 Formule de conjugaison du dioptre plan Le dioptre plan est obtenu à partir du dioptre sphérique en prenant un rayon de courbure infini. Dans ce cas 1/SC vers zéro. La relation de conjugaison du dioptre plan est donc: La notion de sommet du dioptre n’a plus de sens et on note le point coupant l’axe optique H.

6.7 Formule de conjugaison avec origine au centre En reprenant la formule de l’invariant fondamental, en substituant le point I par le sommet S et en introduisant le centre C : devient Finalement, en passant aux inverses, En arrangeant les termes, on obtient la formule de conjugaison avec origine au centre:

6.8 Foyers objet et image du dioptre sphérique Le foyer objet F est conjugué d’une image rejetée à l’infini. La formule de conjugaison devient: soit finalement: On appelle SF la distance focale objet. De la même façon, le foyer image F’ est conjugué d’un objet rejeté à l’infini d’où: soit finalement: On appelle SF’ la distance focale image.

6.9 Propriétés du dioptre sphérique Aplanétisme Le dioptre sphérique est aplanétique dans les conditions de Gauss. La relation d’Abbe s’écrit de façon générale: Dans les conditions de Gauss, la relation d’Abbe s’écrit:

6.10 Grandissement du dioptre sphérique Le grandissement g du dioptre sphérique s’écrit: I i1 i2

Pour le dioptre plan, la formule de conjugaison s’écrit: Ce qui permet encore d’écrire que le grandissement transversal est: Le grandissement transversal d’un dioptre plan est égal à l’unité.

6.11 Construction des rayons lumineux La construction des rayons lumineux pour un couple d’objet et image conjugués est la suivante, où l’on représente les trois rayons suivant: 1 Le rayon issu de B parallèle à l’axe optique passant par le foyer image 2 Le rayon issu de B passant par le foyer objet et émergent parallèle à l’axe optique 3 Le rayon passant par le centre du dioptre et n’étant pas dévié (incidence normale i1 = i2 = 0). A B F F’ A’ B’ C S

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