Chapitre 3 : lois de la réflexion et de la réfraction

3.1 lois de Snell-Descartes Les lois de Snell-Descartes découlent du Principe de Fermat. Plan d’incidence : Plan contenant le rayon lumineux incident et la normale au dioptre au point d’incidence. La normale est orientée dans le sens de propagation de la lumière. Réflexion : On dit qu’il y a réflexion lorsque le rayon émergent se propage dans le même milieu que le rayon incident. Réfraction : On dit qu’il y a réfraction lorsque le faisceau émergent se propage dans le milieu séparé du milieu incident par le dioptre.

Première loi : Loi de la Réflexion Le rayon réfléchi est contenu dans le plan d’incidence. L’angle réfléchi r, compté relativement à la normale au dioptre dans le milieu incident, est égal à l’opposé de l’angle incident : i1 = -r Seconde loi : Loi de la Réfraction   Le rayon émergent est contenu dans le plan d’incidence. L’angle réfracté i2, compté relativement à la normale au dioptre dans le milieu émergent, est tel que : n1 sin i1 = n2 sin i2 où n1 et n2 sont les indices des milieux incident et émergent respectivement.

Milieu incident : n1 Rayon réfléchi r=-i1 Rayon incident i1 N Plan d’incidence = plan de l’écran Milieu émergent n2 Rayon réfracté i2 n1 sin i1 = n2 sin i2 Ce diagramme peut être reproduit pour tout rayon incident sur un dioptre non plan. Dans ce cas, on prendra pour dioptre équivalent le plan tangent au dioptre réel au point d’incidence.

3.2 Construction de Descartes 1. Tracer le rayon incident   2. Tracer l’intersection de la surface des indices du milieu incident et du plan d’incidence centrée sur le point d’incidence : cercle C1 de centre I et de rayon n1 3. Tracer l’intersection de la surface des indices du milieu émergent et du plan d’incidence centrée sur le point d’incidence : cercle C2 de centre I et de rayon n2 4. Prolonger dans le milieu émergent le rayon incident pour couper le cercle C1 au point A’. 5. Abaisser la droite parallèle à la normale au dioptre, coupant le cercle C2 dans le milieu émergent au point A’’, le dioptre au point H et le cercle C1 dans le milieu incident au point A. 6. Tracer la droite (IA) dans le milieu incident : c’est le rayon réfléchi. 7. Tracer la droite (IA’’) dans le milieu émergent : c’est le rayon réfracté.

Par construction, on vérifie que : IA = IA’ = n1 IA’’ = n2 IH = n1 sin i1 = n2 sin i2

3.3 Construction de Huygens 1. Tracer le rayon incident.   2. Tracer la surface d’onde S(t) dans le milieu incident, perpendiculaire au rayon incident et coupant le dioptre au point d’incidence I. 3. Tracer la surface d’onde S(t+dt) dans le milieu incident par une construction de Huygens. Cette surface d’onde coupe le dioptre au point J. 4. Tracer le cercle C2 de rayon R = v2 dt dans le milieu émergent, centré au point d’incidence I. Le point d’incidence I est en effet une source secondaire émettant une onde secondaire sphérique dans le milieu émergent. 5. Tracer la droite passant par le point J, tangente au cercle C2 dans le milieu émergent au point A. Le point J et le point A appartiennent à la même surface d’onde care le temps écoulé lors des propagations de I à J et de I à A est égal. 6. Tracer le rayon émergent, droite (IA) passant par I et par A. Cette droite est perpendiculaire à la droite (JA) car C2 est un cercle : c’est donc bien un rayon lumineux, perpendiculaire à sa surface d’onde S(t+dt).

3.4 Réflexion sur un dioptre Réflexion externe Réflexion sur un dioptre tel que n1 < n2 Air n1 = 1 Eau n2 = 1.333 Si i1 = 45°, alors i2 = 32° Air n1 = 1 Verre n2 = 1.54 Si i1 = 45°, alors i2 = 27.3° Réflexion interne Réflexion sur un dioptre tel que n1 > n2 Eau n1 = 1.33 Air n2 = 1 Si i1 = 45°, alors i2 = 70.49° Verre n1 = 1.54 Air n2 = 1 Si i1 = 30°, alors i2 = 50.35°

Verre n1 = 1.54 Air n2 = 1 Si i1 = 45°, alors sin i2 = 1,09 > 1

3.5 Réflexion Totale Interne L’angle réfracté ne peut excéder p/2. On définit donc l’angle incident limite (ou critique) i1,lim permettant d’obtenir i2 = p/2.

Exemple : Air n2 = 1 Eau n1 = 1.333 i1,lim = arc sin (1/1.333) = 48.6°   Air n2 = 1 Verre n1 = 1.54 i1,lim = arc sin (1/1.54) = 40.5° Si l‘angle d’incidence i1 est supérieur à l’angle critique i1,lim., aucun rayon lumineux n’est réfracté dans le milieu émergent et il ne subsiste que le rayon réfléchi : la réflexion est totale.

Exemple : Fibre optique

Energie Incidente = Energie Réfléchie + Energie Transmise 3.6 Energies transmise et réfléchie A la surface d’un dioptre, l’énergie transportée par la lumière peut être réfléchie ou transmise dans le milieu émergent. Puisque l’énergie est conservée, on aura toujours :   Energie Incidente = Energie Réfléchie + Energie Transmise Energie Incidente Energie Incidente Energie Incidente 1 = R + T On considère qu’aucune absorption n’a lieu lors de la réflexion sur le dioptre.

Sous incidence normale, i1 = 0, les coefficients R et T s’écrivent : mais sous incidence quelconque leur forme plus compliquée ne peut être obtenue qu’à partir des équations de Maxwell pour l’électromagnétisme. Air n1 = 1 Eau n2 = 1.333 R = 0.02, T = 1-R = 0.98 (seulement 2% est réfléchie alors que 98% est transmis) Air n1 = 1 Verre n2 = 1.54 R = 0.045, T = 1-R = 0.955 (seulement 4.5% est réfléchi alors que 95.5% est transmis) En incidence normale, le sens de l’incidence (de 1  2 ou 2  1) n’a pas d’influence, R et T sont indépendant du sens.

3.7 Loi de Kepler   Pour des petits angles d’incidence, on peut réaliser l’approximation suivante : sin i1 ~ i1 Et donc on obtient la relation : n1 i1 = n2 i2 loi de Kepler Attention, dans cette relation, les angles sont exprimés en radians !

3.8 Quille d’un bateau    Quelle doit être la position de la quille d’un bateau pour que celle-ci ne soit plus visible d’un observateur situé sur la berge ? On considérera un voilier d’une largeur totale de 6 m au niveau de la ligne de flottaison. L’indice de réfraction de l’eau est n = 1.333.

Solution: Pour que la quille soit invisible d’un observateur, il faut que tout rayon lumineux issu de la quille ne puisse être réfracté. L’angle d’incidence minimum est donc égal ou supérieur à l’angle limite. Pour le système air-eau, l’angle limite est :   i1,lim = arc sin (nAir / nEau) = arc sin (1 / 1.333) = 48.6° La longueur BI vaut 3 m, c’est une demi-largeur du bateau au niveau de la ligne de flottaison. Alors la position de la quille par rapport à la ligne de flottaison, c’est-à-dire la longueur BA est : BA = BI tan i1crit. = BI tan (48.6°) = 3 tan 48.6° = 2.64 m Toute quille placée à une distance inférieure à 2.64 m de la ligne de flottaison sera invisible d’un observateur placé sur la berge car aucun rayon lumineux ne pourra émerger de l’eau.