La commande Été 2010

Types de commande Rétroaction (Feedback) Par « FeedForward » P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée

Constituants d’une boucle de contrôle par rétroaction

Exemple - CSTR

Équations de l’exemple Pour analyser les différentes stratégies de contrôle, analysons le système suivant (en Laplace):

Système CSTR Équation différentielle correspondante:

Paramètres du système à étudier V = 10 pi3; F = 2.5 pi3/min; ρCP = 61.3 BTU/pi3/°F; Ti = 50°F Tss = 60°F

Système CSTR avec les paramètres : En régime permanent :

Fonction de transfert du procédé résultante Voici le schéma bloc du système :

Fonction de transfert du capteur Supposons que le capteur ait une dynamique du premier ordre avec une constante de temps de 5 sec. Alors :

Fonction de transfert de la valve de contrôle de la valeur Supposons que la valve ait une dynamique du premier ordre avec une constante de temps de ½ minute. Alors :

Fonctions de transfert en boucle fermée Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie :

Pour notre système (posant gv = h = 1) Car rapides Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie :

Contrôle proportionnel Soit p(t) un signal pneumatique entre 3 et 15 psig (un signal électrique entre 4 et 20 mA) émis par le contrôleur. Soit ps la valeur de commande qui fait en sorte que l’erreur ε(t) soit nulle.

Contrôle proportionnel (2) Alors un contrôleur proportionnel aura comme équation : Le signal de commande se définit comme étant :

Contrôle proportionnel (3) La fonction de transfert résultante sera donc :

En pratique Dans les contrôleurs industriels, ce n’est pas le gain proportionnel KP qui est ajusté, mais bien la bande proportionnelle PB. Définition de PB:

Effets du contrôle proportionnel sur le CSTR Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie :

Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min

Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min

Bilan Le système en boucle fermée est stable. Racine de l’équation caractéristique est réelle et inférieure à 0. (Kp>0)

Bilan (2) Une erreur persiste entre la valeur de sortie en régime permanent et la consigne. Seul un gain infini règle ce problème. Pour certains systèmes, cette erreur n’est pas dramatique.

Bilan (3) Une perturbation provoque une erreur non corrigée complètement par le contrôleur proportionnel.

Contrôle proportionnel-intégral La représentation du signal p(t) est :

Contrôle PI (2) La fonction de transfert résultante sera donc : Reset Rate

Effets du contrôle PI sur le CSTR Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie :

Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min KC = 10

Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min KC = 10

Bilan Le système en boucle fermée est stable sous certaines conditions. Choix limité de KC et tI.

Bilan Critère de Routh-Hurwitz.

Bilan (2) Il n’y a plus d’erreur entre la valeur de sortie en régime permanent et la consigne.

Bilan (3) Une perturbation provoque une erreur transitoire qui fini par disparaître complètement.

Contrôle proportionnel-dérivée La représentation du signal p(t) est :

Derivate time constant Contrôle PD (2) La fonction de transfert résultante sera donc : Derivate time constant

Effets du contrôle PD sur le CSTR Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie :

Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min KC = 10

Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min KC = 10

Bilan Le système en boucle fermée est stable.

Bilan (2) Comportement identique au cas proportionnel, mais l’effet de la partie dérivée est de ralentir le système.

Contrôle PID La fonction de transfert du contrôleur

Effets du contrôle PD sur le CSTR Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie :

Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min KC = 10, tI = 1/4

Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min KC = 10, tI = 1/4

Bilan Le système en boucle fermée est stable sous certaines conditions. Choix limité de KC , tI et tD.

Bilan (2) L’ajout du terme dérivée ralenti le système et augmente la longueur de la période d’oscillation.

Contrôle d’un système instable en boucle ouverte Soit le système suivant : Le système à un pôle à +1/5 = 0.2 et est donc instable en boucle ouverte.

Contrôle P d’un système instable en boucle ouverte En boucle fermée : Si KC > 1, le système devient stable. Un contrôleur P stabilise le système. Erreur en régime permanent.

Contrôle PI d’un système instable en boucle ouverte En boucle fermée : Pas d’erreur en régime permanent KC > 1

Contrôle d’un système à réponse inverse

Techniques de design de contrôleurs

Technique par placement de pôles Pour faire le design d’un contrôleur, on peut simplement fixer les pôles que l’on désire attribuer au système en boucle fermée.

Exemple - PI Soit la fonction de transfert du CSTR avec contrôle PID. Le dénominateur étant du deuxième ordre, on peut choisir de placer les pôles en p1 et p2.

Exemple – PI (suite) Fonction cible : Dénominateur de la fonction :

Exemple – PI (suite) Gain KC : Constante tI :

Exemple – PI (suite) Ex.: p1 = -1-j et p2 = -1+j Ainsi:

Utilisation des marges de stabilité Une approche proposée par Ziegler et Nichols propose une méthode de réglage basée sur: Connaissance de la limite de stabilité; Spécification du contrôleur faisant en sorte que la décroissance des maxima fasse en sorte que le second maxima soit le ¼ du premier.

Méthode de Ziegler-Nichols Méthodologie: Trouver le gain ultime KCU qui fasse en sorte que le système entre en oscillation. Le contrôleur doit être proportionnel seulement Donc les valeurs des paramètres dérivée et intégrales ajusté pour annuler ces effets. Mesurer la période d’oscillation PU.

Méthode de Ziegler-Nichols Méthodologie: Utiliser les paramètres de la table suivante pour déterminer les gains optimaux. Type de contrôleur KC τI τD P 0.5KCU - PI 0.45KCU PU/2 PID 0.6KCU PU/8

Exemple - PI Système G(s): En boucle fermée :

Exemple - PI Système G(s): En boucle fermée :

Exemple - PI Oscille si KC = 3 avec une période d’environ 5 minute. PI => KC = 1.35 et tau_I = 4.17 min

Méthodes basées sur des modèles empiriques Certaines approches présentées par Ziegler-Nichols Cohen-Coon Minimum ITAE (Smith, Murrill et al) ... sont basées sur des modèles empiriques.

Paramètres Délais « alpha » Gain statique K Constante de temps « tau » Mesuré suite à une réponse à un échelon en boucle ouverte.

Ziegler-Nichols (modèle approximatif) Tableau (exige que ) : Type de contrôleur KC τI τD P - PI PID

Cohen-Coon (modèle approximatif) Tableau (exige que ) : Type de contrôleur KC τI τD P - PI PID PD

Minimum ITAE – (perturbation) (modèle approximatif) Tableau (exige que ) : Type de contrôleur KC τI τD P - PI PID

Minimum ITAE – (consigne) (modèle approximatif) Tableau (exige que ) : Type de contrôleur KC τI τD P - PI PID

Exemple - PI Système G(s): Système approximé :

Exemple - PI Ziegler-Nichols Cohen-Coon ITAE KC 4.84 4.92 2.73 tau I 9.62 6.94 15.41

Exemple - PI ITAE ZN et CC

- Cascade - Prédictive Méthodes avancées

Commande en « Feedforward » Cette commande est utile lorsqu’une perturbation est mesurée et lorsque son impact sur le système peut être significatif, puisque la mesure de contrôle se fait en sortie. La température du liquide entrant dans le CSTR est un bon exemple.

Commande en « Feedforward » Exemple du CSTR

Commande en « Feedforward » En régime permanent, uss(s) = 0 implique yss(s) = 0. Mais, si une perturbation survient :

Structure d’une contrôleur « Feedforward » Schéma bloc :

Sortie y avec le « Feedforward » La sortie y est obtenue par la fonction de transfert suivante : Si yd = 0, alors :

Calcul du compensateur Comme on désire que y soit indépendant de d, il suffit donc que : Ce qui donne :

Exemple - CSTR Calcul du compensateur : Le compensateur est donc facile à réaliser, car c’est un gain pur.

Exemple #2 Système ayant : Le compensateur : Non faisable

Exemple #3 Système ayant : Le compensateur : Faisable

Exemple #4 Système ayant : Le compensateur : Faisable si d≥c

Bilan Ce contrôleur peut réduire l’effet de la perturbation. En autant qu’elle puisse être mesurée. En autant que le compensateur soit faisable. Alternative: enlever tout l’aspect dynamique. Souvent combiné avec un contrôle en « Feedback ».

Structure d’un contrôleur Cascade Schéma bloc :

Fonction de transfert de la boucle intérieure La sortie u en fonction de u’ et d2 est obtenue par la fonction de transfert suivante : g*2 g*d2

Structure modifiée Nouveau schéma bloc :

Fonction de transfert du système La sortie y en fonction de yd, d1 et d2 est obtenue par :

Exemple – asservissement en position Fonctions de transfert (moteur):

Boucle de vitesse interne avec contrôle PI Contrôleur PI : FT en boucle fermée K = K1:

Paramètres K = K1 = 30 000 RPS/Volts (500 RPM/V) Tau_m = 0.01 sec

Placement de pôles Pôles désirés tel que le dénominateur devienne : Ou encore :

Calculs Donc : Ce qui donne : Kc = 2 et Tau_I = 0.01

Fonction de transfert interne Voici la fonction résultante : ... qui est du premier ordre.

Boucle de position externe avec contrôle P Contrôleur P : FT en boucle fermée K2 = 1

Les pôles du système De la FT, on obtient : Pour un dzêta de 0.707, il faut que la partie complexe ait la même amplitude que la partie réelle.

Les pôles du système Donc : Ce qui mène à : K’c = 100

FT du système résultant FT en boucle fermée