ELG3575 3. La transformée de Fourier, énergie, puissance et densités spectrales

Transformée de Fourier d’un signal périodique Nous pouvons représenter un signal périodique par sa série de Fourier exponentielle complexe. Supposons que x(t) est périodique avec période T, alors : Sa transformée de Fourier est donnée par:

Exemple

Exemple |X(f)| 2A/p 2A/3p 2A/5p 2A/p 2A/3p 2A/5p f -10 -6 -2 2 6 10

Réponse en fréquence d’un système linéaire et invariant en temps Un système linéaire et invariant en temps a une réponse impulsionnelle, h(t). Pour un signal d’entré x(t), la sortie du système y(t) est Le spectre de la sortie (son contenu fréquentiel) est Y(f) = F{y(t)} qui est donné par : où X(f) = F{x(t)} est le spectre de l’entrée et H(f) = F{h(t)} est la réponse en fréquence du système LTI. La réponse en fréquence du système est aussi donnée par :

Exemple H(f) = ?

Solution H(f) = F{h(t)} = 20log|H(f)| 0dB -20dB/decade 1/(2pRC) f

Exemple 2 Trouvez la sortie du circuit quand x(t) = Acos2pfot. Solution Le spectre de la sortie est: Y(f)

Réponse en amplitude et réponse en phase Le terme est la réponse en amplitude à la fréquence fo du système et est sa réponse en phase à la fréquence fo.

Réponse en amplitude et réponse en phase

Exemple La sortie d’un système LTI est y(t) = L(t) pour un entrée x(t) = P(t). Trouvez la réponse impulsionnelle du système. Est-ce que le système est causal? Solution Le spectre de la sortie est Y(f) = sinc2(f) et celui de l’entrée est X(f) = sinc(f). Alors, la réponse en fréquence du système est H(f) = sinc2(f)/sinc(f) = sinc(f). La réponse impulsionnelle est h(t) = F-1{H(f)} = P(t). Le système n’est pas causal parce que h(t) ≠ 0 pour toutes valeurs de t < 0.

Energie et puissance La racine carrée moyenne (root mean square – RMS) d’un signal sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est : La puissance instantanée P(t) = v(t)i(t), où v(t) est la chute de tension et i(t) est le courant qui produit la chute de tension. Pour une chute de tension sur une résistance, P(t) = v2(t)/R où R est la valeur de la résistance. Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T, la puissance moyenne est :

Puissance normalisée La puissance moyenne normalisée (R = 1) est donc : Si nous prenons l’intervalle de -∞ ≤ t ≤ ∞, l’expression ci-dessus devient :

Définition d’un signal de puissance Définition 3.1 : Le signal x(t) est un signal de puissance si 0 < P < ∞

Energie normalisée Puissance est l’énergie par unité de temps. Donc, l’énergie moyenne normalisée est donnée par :

Définition d’un signal d’énergie Définition 3.2 : Le signal x(t) est un signal d’énergie si son énergie moyenne normalisée E < ∞.

Exemple Pour chacun des signaux suivants, déterminez de quel type s’agit t’il. Energie, puissance où aucun des deux. x(t) = Acos(2pfot) y(t) = P(t) z(t) = tu(t).

L’énergie d’un signal périodique Si x(t) est périodique avec période T, l’énergie sur une période est : L’énergie sur N périodes est EN = NEp. L’énergie moyenne normalisée est Donc un signal périodique ne peut jamais être un signal d’énergie.

La puissance d’un signal périodique La puissance de x(t) sur une période est : Et sa puissance sur N périodes est : La puissance moyenne normalisée est Donc la puissance moyenne normalisée d’un signal périodique est la puissance sur une période.

X*(f) si x(t) est réel

Théorème de Parseval Supposons que x(t) est un signal d’énergie. Son énergie moyenne normalisée est :

Exemple

La fonction d’autocorrélation d’un signal d’ énergie La fonction d’autocorrélation est une mesure de similarité entre une fonction et une version identique décalée en temps par t. Cette fonction est donné par : Nous remarquons que Aussi, on peut constater que

Densité spectrale d’énergie Supposons que Gx(f) = F{jx(t)} Alors Gx(f) = |X(f)|2.

Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI Pour le système démontré ci-dessous, l’entrée du système, x(t), est un signal d’énergie. Le système est un système LTI avec réponse impulsionnelle h(t). La sortie y(t) = x(t)*h(t).

Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI En supposant que la y(t) est aussi un signal d’énergie, nous trouvons sa fonction d’autocorrélation ci-dessous :

Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI Alors Gy(f) est donnée par: Gy(f) = F{jy(t)} = H(-f)H*(-f)|X(f)|2= H*(f)H(f)|X(f)|2 = |H(f)|2Gx(f)

Densité spectrale d’énergie d’un signal décrit la manière que l’énergie est répartie dans le spectre du signal Ey = 2|X(f)|2Df Df en Hz, alors |X(f)|2 en J/Hz

Exemple Trouvez la fonction d’autocorrélation, jx(t), pour x(t) = P(t) et trouvez la densité spectrale d’énergie à partir de jx(t). Démontrez que sa densité spectrale d’énergie est égal à |X(f)|2. Trouvez l’énergie en x(t).

Exemple

Exemple Pour t < -1 et t > 1, x(t)x*(t+t) = 0, alors jx(t) = 0. Pour -1 < t < 0, jx(t) est : Pour 0 < t < 1, jx(t) est :

Exemple La densité spectrale d’énergie de x(t) est Gx(f) = F{jx(t)}. Si nous trouvons sa transformée de Fourier, nous trouvons que Gx(f) = sinc2(f). Aussi, F{x(t)} = X(f) = sinc(f) et alors, |X(f)|2 = Gx(f) = sinc2(f).

La fonction d’autocorrélation d’un signal de puissance En suivant les mêmes méthodes que pour les signaux d’énergie, définissons la fonction d’autocorrélation pour les signaux de puissance comme : Nous voyons que Px = Rx(0).

Densité spectrale d’énergie La transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation F{Rx(t)} = Sx(f) est la densité spectrale de puissance du signal x(t).

Exemple Trouvez la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance du signal x(t) = Acos(2pfot). Trouvez la puissance de x(t) à partir de sa densité spectrale de puissance.

Exemple La puissance Px est :