2. La série de Fourier trigonométrique et la transformée de Fourier ELG3575 2. La série de Fourier trigonométrique et la transformée de Fourier

Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe Supposons que le signal x(t) est un signal réel. C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn* est donné par :

La série de Fourier trigonométrique Si le signal x(t) est réel, la partie réelle du coefficient Xn est donnée par :

La série de Fourier trigonométrique 2 Donc la partie imaginaire du coefficient Xn quand x(t) est réel est : Nous pouvons exprimer la série de Fourier exponentielle complexe comme :

La série de Fourier trigonométrique 3 Si x(t) est réel, X-n = Xn*,

Exemple donc X0 = 0, Re{Xn} = 0 et Im{Xn} = -2A/pn pour les valeurs impaires de n. Donc bn = 4A/pn pour les valeur impaires de n.

Exemple suite La sommation représente les N premières harmoniques de x(t).

Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique

Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est paire Supposons que x(t) est une fonction paire. C'est-à-dire que x(t) = x(-t). Remplaçons –t par u et dt par –du dans le premier intégral de l’expression

La série de Fourier trigonométrique d’une fonction paire

Les propriétés de la série de Fourier trigonométrique: x(t) est impaire Nous pouvons démontrer que si x(t) est une fonction impaire (x(t) = -x(-t)), a0 et an sont 0.

Composantes paire et impaire Si x(t) est réel et périodique,

Composantes paire et impaire

Exemple Pour le signal x(t) démontré ci-dessus, trouvez sa série de Fourier trigonométrique.

Solution La période de ce signal est T = 4, donc la fréquence fondamentale fo = ¼. La série de Fourier trigonométrique est donc :

Solution

Solution

Introduction à la transformée de Fourier Prenons un signal périodique Alors Si, x(t) est apériodique, la « période » de x(t) est T où T → ∞ et f0 → 0. Donc 1/T devient df, nfo devient f et la sommation devient une intégrale.

La transformée de Fourier La fonction X(f) est la transformée de Fourier de x(t). X(f) décrit le contenu spectral de x(t). X(f) = F{x(t)} x(t) = F-1{X(f)} =

Exemple Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = P(t). Solution La transformée de x(t) est :

Exemple 2 Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = L(t). Solution

Exemple 3 Trouvez la transformée de Fourier de x(t) = d(t). Solution

Les propriétés de la transformée de Fourier Linéarité La transformée de Fourier est une fonction linéaire. C'est-à-dire que si X1(f) =F{x1(t)} et X2(f) = F{x2(t)}, pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), X3(f) = F{x3(t)}=aX1(f) + bX2(f). Décalage temporel Supposons que la transformée de Fourier de x1(t) est X1(f). La transformée de Fourier de x2(t) = x1(t-to) est  Rééchelonnement temporel Si F{x(t)} = X(f), F{x(at)} = (1/|a|)X(f/a). Dualité temps-fréquence Si F{x(t)} = X(f), F{X(t)} = x(-f).

Les propriétés de la transformée de Fourier 2 Décalage fréquentiel Si X(f) = F-1{x(t)}, X(f-fo) = F-1{x(t) } Convolution en temps Si z(t) = x(t)*y(t), Z(f) = X(f)Y(f). Multiplication en temps Pour z(t) = x(t)y(t), sa transformée de Fourier Z(f) = X(f)*Y(f). Dérivation temporelle F{ } = 2pfX(f) Intégration temporelle F

Les propriétés de la transformée de Fourier 3 Transformée du conjugué complexe F{x*(t)} = X*(-f)

Des exemples Trouvez la transformée de Fourier du signal x(t) = 2d(t-3) + 3P(2t). Solution F{d(t-3)} = 1×e-j6pf (propriété 2) F{P(2t)} = (1/2)sinc(f/2) (propriété 3) F{2d(t-3) + 3P(2t)} = 2e-j6pf + (3/2)sinc(f/2) (propriété 1) On sait que L(t) = P(t)*P(t). Trouvez F{L(t)} F{L(t)} = sinc(f) × sinc(f) = sinc2(f) (propriété 6)

Des exemples Trouvez F{cos(2pfot)} et F{sin(2pfot)} Solution F{1}=d(f) (propriété 4) F{1× } = d(f-fo) et F{1× } = d(f+fo) (propriété 5) Alors F{cos(2pfot)} = (1/2)d(f-fo) +(1/2)d(f+fo) (propriété 1) Aussi on peut démontrer que F{sin(2pfot)} = (1/2j)d(f-fo) - (1/2j)d(f+fo)