LES CONIQUES Cours 25

Le nom conique vient du fait quelle peuvent être vue comme des coupes dun cône par un plan.

Une parabole est lensemble des points dont la distance à une droite est la même que la distance à un point donné. Pour trouver léquation de la parabole, on doit choisir un repère.

Les paraboles

Une ellipse est lensemble des points dont la somme des distances entre ce point et deux autre est constante. Pour trouver léquation de lellipse, on doit choisir un repère.

posons et

Pythagore posons et

Les ellipses

Les hyperboles

? ? ?

Rappel de la complétion de carré.

Exemple:

? ? ? Donne linformation sur le type de conique

Or la forme générale dune équation du deuxième degré est plutôt comme suit. Un terme quon ne retrouve pas dans les trois cas quon vient de voir! Existerait-il dautre formes que les coniques représentés par les équations de degré deux?

Définition: Une forme quadratique est un polynôme dont tous ses monômes ont un degré total de 2. Exemple:

Remarque: La forme générale dune forme quadratique à deux variables est: Quon peut modéliser à laide de matrice

Le terme napparaissait pas dans les équations des coniques quon a trouvées due à notre choix de repère. Essayons de voir si on pourrait trouver un changement de repère, ou si on veux un changement de variable qui fera disparaitre le terme en xy.

Changement de base (variable)

Considérons la forme quadratique Et faisons le changement de variable Doù la matrice représente la conique dans le nouveau repère. Mais la conique, elle, na pas changé!

Exemple: Considérons la conique ou, si on préfère, On a donc que comme changement de variable. et appliquons lui le changement de variable obtenue en faisant une rotation de. La conique est

Est symétrique. Est diagonale. Multiplier à gauche fait des opérations ligne. Multiplier à droite fait des opérations colonnes.

Donc si Ellipse Hyperbole Parabole ou lensemble vide

Cest une ellipse!

Cest une hyperbole!

Cest une parabole!

Lidée de diagonaliser un matrice de cette façon savère très utile dans la recherche des maximums et minimums de fonction à plusieurs variable. et minimum maximum

Test de la dérivée seconde

Si on veut faire linverse maintenant. Cest à dire, on veux trouver léquation dun conique qui nest pas centré et dont la axes de symétrie ne sont pas x et y Lidée est de partir dune des trois formes Ensuite on tourne et on translate.

Parabole Ellipse Hyperbole

On fait le changement de variable (ou de repère) Rotation Translation

Devoir: feuille