Équations différentielles Partie 1 Objectifs Connaître la définition d’une équation différentielle Résoudre des équations différentielles (recherche de la solution générale) Bien saisir l’importance de la constante d’intégration et la définition des courbes intégrales ou famille de courbes Déterminer une solution particulière Déterminer la famille de courbes orthogonales

Introduction sur les équations différentielles On a une variable y dépendante d’une variable x (y est fonction de x) pour laquelle on ne connaît pas la relation entre elles. Mais on connaît une loi régissant les variations de y par rapport à celles de x. Cette loi est décrite par une équation appelée équation différentielle. À partir de cette loi, nous aimerions trouve la relation entre les variables y et x. Au début du calcul différentiel (vers 1670-1680), on s’en servait pour résoudre des problèmes de géométrie comme la détermination d’une courbe dont les tangentes sont soumises à une condition donnée. Vers 1730, le mathématicien suisse Leonhard Euler les utilisent dans le traitement des problèmes de dynamique. Exemple Trouvez une courbe passant par le point (2,4) dont la pente de la tangente à la courbe en tout point (x, y) est égale à l’ordonnée du point. On obtient alors . À partir de cette relation, il faudra trouver l’expression liant y à x. De nos jours, les équations différentielles constituent l'un des principaux outils mathématiques et interviennent dans la modélisation de plusieurs phénomènes (position d'une navette spatiale, charge d'un condensateur électrique, concentration d'un produit lors d'une réaction chimique, concentration d’un médicament dans l’organisme, désintégration radioactive, débit du sang dans une artère, croissance d'une population, pollution, …). Ces équations sont le lot quotidien d’un grand nombre d’ingénieurs, de scientifiques, d’économistes, d’actuaires, … Sans elles, que serait devenue la science?

Définitions Une équation différentielle est une équation qui met en relation une variable indépendante x, une fonction inconnue y=f(x) ainsi que ses dérivées successives: y’, y’’, …, y(n). L’ordre d’une équation différentielle est celui de la dérivée d’ordre le plus élevé intervenant dans l’équation. Résoudre analytiquement une équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions y qui vérifient cette équation différentielle. Toute fonction satisfaisant une équation différentielle est appelée solution de cette équation différentielle. Les fonctions qui satisfont l’équation sont :

Définitions (suite…) Une solution générale est la fonction Résoudre analytiquement une équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions y qui vérifient cette équation différentielle. Toute fonction satisfaisant une équation différentielle est appelée solution de cette équation différentielle. L’ensemble des fonctions vérifiant une équation différentielle constitue une famille de courbes pouvant être décrite par une fonction générale comportant autant de constantes que l’ordre de l’équation. Cette fonction générale est appelée la solution générale de l’équation différentielle. Chaque membre de la famille de courbes, obtenu en donnant des valeurs particulières aux constantes est appelée solution particulière de l’équation différentielle. Une solution particulière est généralement déduite de la solution générale en imposant certaines conditions, dites conditions initiales, sur les valeurs de la fonction ou des dérivées selon l’ordre de l’équation différentielle. Par exemple, si x=x0 alors y=y0 dans le cas d’une équation différentielle d’ordre 1. Par exemple, si x=x0 alors y’=y’0 et y=y0 si l’équation différentielle est d’ordre 2.

Solution d’une E.D. La solution d’une E.D. est une famille de courbes satisfaisant à cette E.D. L’ordre d’une E.D. est égal à l’ordre de la dérivée d’ordre le plus élevé. Le degré d’une E.D. est égal à l’exposant de la dérivée d’ordre le plus élevé Une E.D. d’ordre n possèdera n constantes d’intégration arbitraires

E.D. à variables séparables (d’ordre 1) Pour résoudre une E.D. à variables séparables d’ordre 1 il faut: Séparer les variables (regrouper chaque variable avec sa différentielle; les différentielles doivent être au numérateur) Intégrer chacun des membres de l’équation Exprimer une variable en fonction de l’autre S’il y a lieu, trouver la valeur de la constante d’intégration

Exemple

Exercices