Leçons de la Nature L’os et le bambou Journée de rencontre Lions – D’Alembert Biomécanique Leçons de la Nature L’os et le bambou Cécile Baron Institut Jean Le Rond D’Alembert – UMR CNRS 7190 Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Ceci n’est pas une fable de La Fontaine… Bambou utilisé depuis plus de 5000 ans en Chine 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

FGM, qu’est-ce que c’est ? Functionnally Graded Materials : matériaux à gradient de propriétés. Matériau hétérogène ou non-homogène ? Une seule phase. Les propriétés mécaniques et/ou thermiques du matériau varient progressivement selon une direction de l’espace. Cette variation « lente » des propriétés peut être due à une variation de la (micro)structure (porosité) ou de la composition du matériau. Rq : selon l’échelle d’observation, un matériau à hétérogénéité unidirectionnelle peut être un matériau à variation « continue » ou stratifié. Intérêt des Functionnally Graded Materials : éviter les concentrations de contraintes dues aux interfaces et améliorer les propriétés mécaniques et thermiques des pièces par association de matériau Mathématiquement, milieu stratifié et milieux continûment variables = fonctions continues Biomécanique Aéronautique et aérospatiale Automobile Etc. 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Des milieux biologiques à gradient de propriétés Les milieux biologiques, après des millions d’années d’évolution présentent des (micro)structures à gradient de propriétés. Les milieux vivants sont des milieux adaptatifs / environnement. Le bambou Les FGM les plus étonnants ne sont pas créés par l’Homme mais par la Nature… Les propriétés de résistance mécanique du bamboo sont supérieures à certains alliages d’aluminium L’os Mais aussi, le coquillage, les dents, les ailes de certains insectes etc. 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Des milieux biologiques à gradient de propriétés Les FGM les plus étonnants ne sont pas créés par l’Homme mais par la Nature… Les propriétés de résistance mécanique du bamboo sont supérieures à certains alliages d’aluminium 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Hétérogénéité unidirectionnelle Milieux stratifiés Milieux continûment variables Problème de Thomson-Haskell Solutions analytiques connues pour les couches homogènes+raccords aux interfaces + Conditions aux limites Aki-Richard, 1980 Fonction constante par morceaux OU conservation de la continuité des profils de propriétés Penser à resituer le contexte de caractérisation des matériaux. Apport supplémentaire de ma méthode : tenir compte de la continuité = nouveau point de vue Développement en série de Peano du matricant pour des profils quelconques Fonctions spéciales pour des profils particuliers (ex : couche de Epstein) 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique Plaque FGM Direction de propagation fluide 1 fluide 2 Direction d’hétérogénéité d solide Modes propres (courbes de dispersion) Spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Equation d’onde et solution analytique termes d’hétérogénéité Méthode originale pour conserver la continuité des profils de propriétés : (Formalisme de Stroh) Solution explicite : Série de Peano du matricant M Keep the continuity = keep the authenticity Solution under the form of plane wave harmonic in time and space except along x3 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Le développement en série de Peano (Peano 1888; Pease, 1965; Aki-Richard, 1980; Kennett, 1983) Écriture polynomiale Écriture polynomiale : gain en temps de calcul et développements asymptotiques 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Le développement en série de Peano Schéma récursif de construction : méthode des approximations successives On connaît une expression mais comment la construire : suite récurrente dont la limite est la solution exacte du problème exact. Cette limite existe t-elle? oui Convergence de la série : Si chaque composante de est une fonction bornée sur l’intervalle d’étude [a,b] alors la série est uniformément convergente (Kennett, 1983). 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Objectif « problème inverse » Courbe de dispersion de l’onde de Rayleigh Paramètres caractéristiques du profil : - épaisseur de la zone dégradée ; - localisation du gradient ; - pente du gradient . Baron et al. Ultrasonics 2007 Cij (x3), r(x3) d x3 vide Confrontation à l’expérience Plaque de microbéton EDF L’onde de Rayleigh est sensible aux caractéristique du profil de propriétés. Objectif : remonter aux propriétés caractéristiques d matériau à partir de mesures ultrasonores 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Diagnostic de l’ostéoporose : perspective L’os cortical est un tissu vivant à gradient de propriétés. Gradient de porosité = gradient des coefficents de rigidité et de densité de masse Résistance mécanique GEOMETRIE + STRUCTURE + MATERIAU Baron et al., JASA (122), 2007 Vérifier endoste et périoste en anglais Multiparametric characterization = one of the key issue in bone charactérization for the international community of biomechanics Identify the shape and properties of the porosity gradient from the identification of the material properties gradient (stiffness coefficents and mass density) and relate to the osteoporosis stage. Objectifs : problème inverse Identifier le gradient des propriétés matérielles Forme du gradient de porosité (structure) Stade de l’ostéoporose. Osteoporose 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique Transmission axiale Os moelle Tissus mous Source Récepteurs x3 (direction radiale) x1 (direction axiale) Skeletal site : multi-site Type of bone : cortical bone Frequency : 250kHz-2MHz Acoustic parameter : SOS Typical range : 3000-4000 m/s qc: angle critique pour les ondes longitudinales dans l’os Propagation de l’onde de tête à l’interface Bossy et al., JASA 2002 ; Bossy et al. IEEE UFFC 2004 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique Guide d’onde plan fluide 1 fluide 2 solide d Fluides parfaits : contraintes de cisaillement nulles : Les ondes P-SV waves se propagent dans le plan x2 = 0. 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Conditions aux limites Conditions aux limites et propriétés de propagateur du matricant Expression analytique des coefficients de reflexion et de transmission : 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique Résultats |R| 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 - 0 - Quadratic profiles Sensitivity since 1.5 MHz.mm - frequency × thickness (MHz.mm) 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Géométrie, anisotropie & hétérogénéité Peano & guide cylindrique anisotrope et hétérogène Ondes circonférentielles et axiales dans un cylindre creux à variation linéaire des et de . Résistance osseuse aux phalanges par transmission transverse et/ou axiale. 1/vitesse de phase (ms/mm) ez eq er homogène gradient linéaire Mesure de la vitesse ultrasonore de l’enveloppe corticale aux phalanges par transmission corticale transverse P. Laugier et al. / ITBM-RBM 26 (2005) Insister sur le grand intérêt que revêt Peano dans ce cas / Bessel en anisotrope Cylindre creux d’os anisotrope à gradient linéaire fréquence × rayon extérieur (MHz.mm) 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique En question… Homogénéisation Changement d’échelle : modéliser la variation des propriétés à l’échelle de la microstructure par une variation continue des propriétés à l’échelle supérieure Evaluation de l’erreur La série de Peano est convergente. 2 sources d’erreur lors de l’évaluation numérique de la solution exacte : troncature de la série ; évaluation numérique des intégrales (Simpson’s rule) Recherche de zéros/pôles Newton-Raphson dichotomie Problème inverse – optimisation Méthode d’optimisation pour déterminer le profil de propriétés à partir de mesure de courbes de dispersion ou de spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique Merci ! 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique Bones, sea shells, and bamboo are some typical examples of natural FGMs, which have evolved to their existing “optimally” graded properties over millions of years to accommodate specific physical, chemical and biological environments that they expose « Smart materials » 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique Homogénéisation de matériaux FGM? Title: Modeling Bamboo as a Functionally Graded Material  Author(s): Prof Emilio Silva, Dr. Matthew Walters , Prof Glaucio Paulino  Abstract: Natural fibers are promising for engineering applications due to their low cost. They are abundantly available in tropical and subtropical regions of the world, and they can be employed as construction materials. Among natural fibers, bamboo has been widely used for housing construction around the world. Bamboo is an optimized composite that exploits the concept of Functionally Graded Material (FGM). Biological structures such as bamboo have complicated microstructural shapes and material distribution, and thus the use of numerical methods such as the finite element method, and multiscale methods such as homogenization, can help to further understanding of the mechanical behavior of these materials. The objective of this work is to explore techniques such as the finite element method and homogenization to investigate the structural behavior of bam- boo. The finite element formulation uses graded finite elements to capture the varying material distribution through the bamboo wall. To observe bamboo behavior under applied loads, simulations are conducted under multiple considerations such as a spatially-varying Young's modulus, an averaged Young's modulus, and orthotropic constitutive properties obtained from homogenization theory. The homogenization procedure uses effective, axisymmetric properties estimated from the spatially-varying bamboo composite. Three-dimensional models of bamboo cells were built and simulated under tension, torsion, and bending load cases. 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Équation d’onde : équation différentielle d’ordre 2 Équations de l’élastodynamique : principe fondamental de la dynamique + loi de comportement (loi de Hooke) Champs harmoniques en x1et x2 et en t, se propageant dans le plan . direction de l’hétérogénéité Équation d’onde Où se situe le problème? Pourquoi faut-il traiter l’hétérogénéité continue par une modélisation multicouche? De façon classique, dans le cas des milieux homogènes la propagation d’ondes est étudiée via… 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Définition et propriétés du matricant Définition : le matricant est LA matrice fondamentale solution de Propriétés Existence : théorème de Picard-Lindelöf Matrice de propagation Matrice M formée des n vecteurs linéairement indépendants = base de solutions. La 2ème ligne permet de définir le matricant comme propagateur et de tenir ainsi compte des conditions aux limites 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Paramétrage et écriture polynomiale Formalisme de Stroh formulation de Lothe et Barnett Pour utiliser le matricant dans la résolution de l’équation d’onde et pour obtenir des infos de types courbes de dispersion etc… la question du paramétrage du problème se pose. Préciser que pour des ondes élastiques dimension de N = 6 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Paramétrage et écriture polynomiale Formalisme de Stroh formulation de Thomson et Haskell 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Paramétrage et écriture polynomiale Formalisme de Stroh formulation de Ingebrigsten et Tonning 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Paramétrage et écriture polynomiale Formulation de Lothe et Barnett Formulation dite de Thomson et Haskell Formulation de Ingebrigsten et Tonning factorisation factorisation factorisation 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Paramétrage et écriture polynomiale Formulation de Thomson et Haskell ondes SH – système ondes P-SV – système 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique Biomécanique : Appliquer les principes de la mécanique à la compréhension des processus et des fonctions biologiques. Biomécanique ou mécanobiologie? Biomécanique : prévoir le comportement mécanique d'un tissu ou d'un organe, en tenant compte des contraintes physiologiques et biologiques. Action biologique sur la mécanique Mécanobiologie : prévoir l'évolution biologique d'un tissu ou d’un organe, en tenant compte des contraintes mécaniques qu’il subit. Action mécanique sur le biologique 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 7

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