Simulation numérique des problèmes d’acoustique et de vibroacoustique: Université des Sciences et Technologies de Lille Laboratoire de Mécanique de Lille Simulation numérique des problèmes d’acoustique et de vibroacoustique: Application de CMRH Ahlem ALIA, H. Sadok, M. Souli GDR-IFS 3-4/06/2010, Compiègne

Introduction Techniques Analytiques Formes géométriques simples Méthode des Eléments Finis (FEM) Discrétisation de tout le volume du domaine Méthode des Eléments Finis de Surface (BEM) Discrétisation de la surface du domaine Collocation Variationnelle

Introduction BEM La discrétisation de la surface du domaine acoustique Prise en compte du rayonnement en champs libre BEM MEF

VIBEM (BEM variationnelle indirecte) Théorème de Green S 1 2 S V Equation d’Helmholtz Equation intégrale Condition de Neumann

VIBEM (BEM variationnelle indirecte) Matrices BEM Complexes (fonction de Green) Pleines (interaction de chaque nœud avec tous les nœuds du maillage) Mémoire Temps CPU Construction de la matrice (Intégration double) Résolution du système linéaire Analyse multi-fréquentielle

Système linéaire Généralement, Gmres (Generalized Minimal Residual Method) est la méthode itérative la plus utilisée (Marburg et al. (Performance of iterative solvers for acoustic problem, 2003)) Gmres (en plus de la matrice BEM, stockage de la matrice d’Hessenberg, vecteurs de Krylov) Besoin d’une méthode itérative plus économique en terme de mémoire Cmrh (Changing Minimal Residual method based on Hessenberg process ) développée par Pr. H. Sadok Méthode d’Hessenberg Résolution d’un problème de moindres carrés La matrice A sert d’espace de stockage pour CMRH

Méthodes itérative: CMRH Processus d’Hessenberg: matrice trapézoïdale unitaire Ses colonnes sont des vecteurs de base de l’espace de Krylov Orthogonal aux vecteurs ek(n)=(0,…, 0,1,0,…,0)T. hj,k sont déterminés tq: lk+1┴ e1,e2,…,ek et (lk+1)k+1=1 (i-1) composantes de li sont nulles et (li)i=1

Méthodes itérative: CMRH Hessenberg Arnoldi - Produit A q - Produit scalaire - Produit A par une matrice trapézoïdale

Méthodes itérative: CMRH Stockage de Lk et Hk dans A A l’étape k, Lk est trapézoïdale inférieure u=Alk, (k-1) premières colonnes de A ne sont pas utilisées Lk A

Applications numériques Performance de CMRH en comparaison avec GMRES (sans l’option: restart) Applications numériques Sphère pulsante Rayonnement d’un ventilateur excité avec ses modes propres

Sphère pulsante Une sphère de rayon 1m excitée par une vitesse de 7mm/s entourée par l’air. Deux maillages: 21602 noeuds et 7352 noeuds Performance de CMRH: le vecteur b est choisi de telle sorte que la solution exact x* soit connue. Ce qui permet de bien calculer ||res=b-Ax|| et l’erreur ||err=x-x*|| Un critère d’arrêt de 10-9.

Sphère pulsante Figure(1): Variation de la norme du résidu et de l’erreur en fonction du nombre des itérations ( maillage 7352 nœuds )

Sphère pulsante Figure(2): Variation de la norme du résidu et de l’erreur en fonction du nombre des itérations ( maillage 21602 nœuds )

Sphère pulsante Une sphère de rayon 1m excitée par une vitesse de 7mm/s entourée par l’air. Maillage 7352 nœuds Pression au centre de la sphère Un critère d’arrêt de 10-9 pour les deux méthodes

Sphère pulsante Figure(3): Variation de la pression au centre de la sphère pulsante en fonction de la fréquence( maillage 7352 nœuds )

Sphère pulsante Figure(4): Variation du nombre des itérations en fonction de la fréquence ( maillage 7352 nœuds )

Rayonnement d’un ventilateur Rayonnement des pales d’un ventilateur comprenant des bords libres Excitations aux modes propres du ventilateur Maillage (5407 nœuds) Analyse modale pour des fréquences <1000Hz 3 modes propres à 399.31, 462.15 et 999.15 Hz Pression rayonnée sur un plan distant de 0.3m du ventilateur

Rayonnement d’un ventilateur Figure(5): Variation du nombre des itérations en fonction de la fréquence ( maillage 7352 nœuds )

Rayonnement d’un ventilateur Figure(6): Vitesse à la fréquence propre 399.31Hz, 462.15Hz et 999.15Hz

Figure(9): Pression acoustique rayonnée dans le plan d’observation Rayonnement d’un ventilateur Figure(9): Pression acoustique rayonnée dans le plan d’observation

Rayonnement d’un ventilateur Performance de GMRES et CMRH Cmrh demande 3 fois moins de mémoire que Gmres

Conclusion Analyse de la performance de Cmrh appliquée pour des problèmes d’acoustique simulés par la BEM. Cette analyse a été faite par comparaison avec Gmres Elle a montré que Cmrh a le même comportement de Gmres mais demande moins de mémoire Cmrh peut être utilisée comme une bonne alternative de Gmres pour les problèmes de très grande taille En perspective, cette méthode sera testée avec un préconditionnement