Walid LARBI Jean-François DEÜ, Roger OHAYON Laboratoire de Mécanique des Structures et des Systèmes Couplés Conservatoire National des Arts et Métiers, Paris, France Nouvelle formulation éléments finis pour les problèmes d'acoustique interne avec interface absorbante 1er Colloque CNRS-GDR et 27 septembre Ecole des Mines - Sophia Antipolis

21er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Motivations Comment tenir compte numériquement de leffet dun matériau absorbant à linterface fluide-structure ? But :Réduction du bruit en utilisant des matériaux amortissants Introduire dans les formulations EF des problèmes élasto-acoustique des modèles damortissements à linterface fluide-structure pour les vibrations harmoniques et les réponses transitoires Problème dinteraction fluide-structure avec de matériaux poreux [Göransson, 98], [Davidsson & Sandberg, 04] … IFS + impédance acoustique Z( ) [Ker-Kandille & Ohayon, 92] Analyse fréquentielle et réduction modale [Bermúdez & Rodríguez, 99] Formulation en déplacement Objectif :

31er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Introduction Cavité acoustique avec parois absorbantes Problème élasto-acoustique avec interface dissipative Formulations symétriques Quelques résultats préliminaires Conclusions PLAN

41er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Idée de base Modèle simple de Kelvin-Voigt à linterface pour les problèmes acoustiques et élasto-acoustiques Introduction dune nouvelle variable scalaire Déplacement fluide normal à linterface = u F.n F Différents modèles damortissement peuvent être introduits dans la formulation EF Dans le domaine fréquentiel (vibration harmonique) Dans le domaine temporel (réponse transitoire) Dans ce travail :

51er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Formulation en déplacement fluide Variable vectorielle système de grande taille donc coûteux à résoudre Éléments finis particuliers (Raviart-Thomas) irrotationnalité du fluide Formulation en pression En fréquence problème non-linéaire en fonction En temps ??? Difficultés avec les formulations classiques

61er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Cavité acoustique avec parois absorbantes Hypothèses et description du problème matériau absorbant Conditions de paroi absorbante Équations en (p, ) Équation d Helmholtz Condition de paroi rigide Fluide non-visqueux, compressible, barotrope contenu dans une cavité avec des interfaces absorbantes dans sur

71er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Formulation variationnelle en terme de (p, + conditions initiales Trouver p et tels que p C p et C

81er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre conditions initiales non homogènes Discrétisation éléments finis Domaine fréquentiel Domaine temporel avec le vecteur détat et les matrices suivantes :

91er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 = 1 kg.m -3 c = 340 m.s -1 problème aux valeurs propres (, p) discrétisation : éléments quadrangle Example de validation : cavité acoustique avec paroi absorbante Interface dissipative Paroi absorbante Air coefficients moyens d'impédance d'une laine de verre typique dans une plage de fréquence [ Hz] Fréquence (Hz) Impédance Re ( Z ) Im ( Z ) et

101er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Sans interface dissipativeAvec interface dissipative Fréquences (en Hz) très bonne concordance avec la solution exacte entre amorti et non-amorti effet de la rigidité du ressort partie imaginaire effet de lamortisseur

111er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Description du problème Problème élasto-acoustique avec interface dissipative modèle de Kelvin-Voigt Structure élastique linéaire u Fluide acoustique interne p Géométrie de linterface : avec formulation variationnelle en (u,, p) équations matricielles associées

121er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Interface dissipative Fluide Structure Equations du problème en (u, η, p) dans Ω S sur dans sur

131er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Formulation variationnelle non-symétrique en terme de (u,, p) Trouver (u,, p) tels que : + conditions initiales

141er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Discrétisation éléments finis en (u,, p) Domaine fréquentiel Domaine temporel + conditions initiales

151er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 si k I tend vers linfini formulation non-symétrique classique (u, p) Retrouver le problème sans interface dissipative? avec la matrice de couplage sans amortissement

161er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Formulation symétrique pour le problème spectral délasto-acoustique Introduction du potentiel de déplacement fluide Equations du problème en (u, p, ) dans sur

171er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Elimination du potentiel de déplacement fluide formulation symétrique indirecte en (u,, p) [Morand & Ohayon, 1995] Formulation éléments finis avec les sous- matrices F, A et B

181er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Problème dinteraction fluide-structure avec interface dissipative Structure rectangulaire remplie dair Milieu viscoélastique infiniment mince à linterface Interface dissipative Discrétisation EF : quadrangles – environ 2500 d.d.l maillage compatible à linterface fluide-structure H = 1 m L = 1.25 m e = m et Fluide Densité Module de Young Coefficient de Poisson ν Célérité c(m/s)

191er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Analyse modale A B C D E Fréquences (en Hz) Modes propres (partie réelle ) cas amorti les modes de la structure sont pratiquement invariants les fréquences du fluide diminuent Interface dissipative Bermúdez : Formulation en (u s, u F ) Fluide Non-amorti IFS * IFS IFS *( réelle ) IFS IFS * Amorti

201er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Réponse transitoire Superposition modale Formulation symétrique (après élimination de ) Schéma de Newmark ( = 1/4, = 1/2) Formulation non-symétrique en (u,,p) Méthodes de résolution

211er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre Hz 305 Hz Réponse de la structure Excitation P Seuls les modes structure < 380 Hz sont excités Linterface dissipative na pas dinfluence sur la réponse de la structure

221er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Réponse du fluide Excitation 105 Hz305 Hz P les pics correspondent aux fréquences propres du système seulement les modes fluide sont influencés par linterface dissipative

231er Colloque CNRS-GDR 2902 – 26 et 27 septembre 2005 Nouvelle variable scalaire additionnelle déplacement fluide normal à linterface Formulation symétrique indirecte en (u,, p) potentiel de déplacement fluide Méthodes de résolution approche modale (modes complexes) & méthode dintégration directe Effets de linterface dissipative analysés sur des exemples simples Perspective Contrôle hybride passif/actif pour la réduction du bruit. Conclusions Nouvelle formulation éléments finis pour les problèmes acoustique et élasto-acoustique avec interface dissipative