Simulations statistiques sous EXCEL Simulation de quelques lois Première Partie : Convergences Deuxième partie : Statistique Troisième partie :

Simulation de quelques lois Première Partie : Résultats théoriques Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi exponentielle Loi Normale Loi de Weibull Construction d ’un histogramme avec Excel

Résultat théorique : Lorsque X suit une loi de probabilité quelconque et si F est la fonction de répartition de X, alors F(X) suit une loi uniforme [0,1]. Exemple : La loi exponentielle Pour la loi normale : Le résultat de Box-Muller Si U1 et U2 sont deux lois uniformes[0,1] indépendantes, Alors, sont indépendantes de loi N (0,1).

Quelques simulations échantillon de taille 500 d ’une loi uniforme obtenu avec EXCEL à l ’aide de la commande : Ai=ALEA() échantillon de taille 500 d ’une loi de Bernoulli(0.7) obtenu a partir de l ’échantillon précédent avec la commande : Ci=SI(Ai<0,3;0;1)

échantillon de taille 500 d ’une loi exponentielle (2) obtenu à partir d ’un échantillon uniforme à l ’aide de la formule : Ci=-LN(Ai)/2. échantillon de taille 500 d ’une loi normale (0,1) obtenu à partir de deux échantillons uniformes indépendants à l ’aide de la formule : Ci=-RACINE(-2*LN(Ai))... ... *COS(2*PI()*Bi).

Règle empirique de Sturges : exprime le nombre de classes échantillon de taille 500 d ’une loi de Weibull (alpha=3,bêta=1) obtenu à partir d ’un échantillon uniforme à l ’aide de la formule : Di=beta*(-LN(Ai))^(1/alpha). Règle empirique de Sturges : exprime le nombre de classes en fonction de n (taille de l ’échantillon)

Les histogrammes avec Excel Échantillon de loi exponentielle et de taille 500 : colonne C 2 3 =MIN(C1:C500)+(MAX(C1:C500)-MIN(C1:C500))/15 =FREQUENCE(C1:C500;F42:F56) } ( appuyer sur ctrl-shift-entrée ) =«cellule précédente »+(MAX(C1:C500)-MIN(C1:C500))/15 1 étape 4 On utilise la fonction histogramme d ’excel sur la dernière matrice obtenue.

La loi forte des grands nombres Le théorème central limite Convergences Deuxième partie : La loi forte des grands nombres Le théorème central limite Illustrations

La loi forte des grands nombres Loi exponentielle (2) Loi normale(0,1) n=50 0,48075520,4989214 0,5027901 -0,13459717 -0,08264021 -0,0453118 n=100 n=500 0.0 Valeur théorique: 0,5

Le théorème central limite Conséquences

Illustration Moyenne=0.05 Variance=1,08 On a généré 256 échantillons de taille 500 d ’une loi uniforme. Pour chaque échantillon on calcule : Moyenne=0.05 Variance=1,08 Donne l ’équivalent d ’un échantillon de loi normale ((SOMME(A1:A500)-500*0,5)*RACINE(12))/RACINE(500)

Droite de Henry C ’est une procédure, pratique et simple, permettant de vérifier la présomption de normalité. Ne constitue pas un test statistique. Principe : Elle repose sur la liaison linéaire entre une variable normale X (moyenne m, écart type sigma ) et la variable centrée réduite U.

Exemple m=5.8 sigma=1,8 Limite sup. de la classe i ni Fi 1,5 1 1 1,5 1 1 2,5 2 3 3,5 6 9 4,5 14 23 5,5 21 44 6,5 23 67 7,5 16 83 8,5 10 93 9,5 5 98 10,5 2 100 m=5.8 sigma=1,8

Statistique présentation des données plusieurs variables estimations Troisième partie : présentation des données plusieurs variables estimations tests (d’adéquation, moyenne, variance)

Présentation des données 1

Plusieurs variables Tableau des corrélations 5 10 15 20 25 Algèbre Analyse 5 10 15 20 Algèbre Mécanique 5 10 15 20 25 Analyse Mécanique Tableau des corrélations = COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A200;B1:B200) = COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A200;C1:C200) = COEFFICIENT.CORRELATION(B1:B200;C1:C200)

Estimations Moyenne: Variance: Commande EXCEL : = moyenne(A1:A200) = var(A1:A200)

On veut tester H0: L=L0 contre H1: LL0 . Test d'adéquation On veut tester H0: L=L0 contre H1: LL0 . Dans notre cas, L0 est une loi normale: - pour l’algèbre, L0= N(9.058, 7.905247), - pour l’analyse, L0= N(10.9985, 13.38799), - pour la mécanique, L0= N(10.574, 11.56515). Commande EXCEL: = (A1-N*B1)^2/(N*B1) On accepte H0 si A < ²K-3, 1- Pour le test, il faut diviser l’ensemble de définition de la loi L0 en K classes (Ck)1 k K de probabilités respectives (pk)1 k K . On détermine pour chaque classe le nombre d ’éléments de (Xn)1 n N dans cette classe, noté (Zk)1 k K .On pose A= somme(C1:CK) On accepte H0 si A < ²K-3, 1- Pour l’algèbre, A=10,23 Pour l’analyse, A=12,45 Pour la mécanique, A=11,21 On accepte H0 dans les 3 cas. ²7, 0.95 14,1

Présentation des données 2 Estimation de la moyenne pour le premier prof: Estimation de la variance pour le premier prof: Estimation de la moyenne pour le second prof: Estimation de la variance pour le second prof:

Tests variance et moyenne Hypothèse : on suppose que les étudiants de prof1 suivent une loi normale et que les étudiants de prof2 suivent une loi normale Variances égales ou non ? On veut tester H0: 12  22 contre H1: 12  22 . On refuse H0 si B > Fn1-1, n2 -1, 1-/2 B < Fn1-1, n2 -1, /2 F99, 99, 0.975  1,48 F99, 99, 0.025  0,68 Commande EXCEL : = var(A1:A100)/var(B1:B100) B=1,25 On accepte H0

Tests variance et moyenne Hypothèse : on suppose que les étudiants de prof1 suivent une loi normale et que les étudiants de prof2 suivent une loi normale Moyennes égales ou non ? On veut tester H0: m1  m2 contre H1: m1  m2 . Commande EXCEL : = ( moyenne(A1:A100)-moyenne(B1:B100) )/ ... … ( racine(1/n1+1/n2)*racine( ((n1-1)*var(A1:A100) … … +(n2-1)*var(B1:B100))/(n1+n2-2) ) ) |C|=2,33 On accepte H0 si |C| < Stdn1+ n2 -2, 1-/2 On refuse H0 Std198, 0.9751,97

FIN