Multivariable I: un exemple applicatif Introduction au problème & Modélisation Multivariable I: un exemple applicatif En collaboration avec: -ESO -Observatoire de Genève Michellod Yvan Dr. Müllhaupt Philippe MER Denis Gillet 11.2005

Introduction Introduction au problème La solution proposée Modélisation et équations d’états Commande à priori

Introduction VLTI: Very Large Telescope Interferometer Site: Chili, Paranal

Introduction

Introduction Perturbations Atmosphérique Compensation avec une ligne à Retard différentielle Active Tracking d’une référence stochastique

Cahier des charges Spécifications Course complète > 60mm Bande passante > 200 Hz Précision ~1nm Mode de résonance mécanique > 150 Hz Dissipation maximum < 5W

Solution existante Bande passante élevée et Grande précision (de l’ordre du nanomètre): > Actuateur piézoélectrique

Rappel: l’effet piézoélectrique Actuateur: Un matériau se déforme sous l’action d’un champs électrique extérieur Capteur: Un matériau génère un champs électrique sous l’effet d’une contrainte mécanique externe

L’effet piézoélectrique Déformation contrôlée

Le piézo: actuateur idéal? Non > Course limitée … (typiquement <30 um)

Autre solution (suite) Précision et grande course > Moteur classique Choix: NEMA 17, moteur pas à pas avec vis de transmission de précision (Ultra motion)

Le moteur classique (suite)

Le moteur classique (suite) Mais Précision dynamique en tracking, trop limitée Bande passante trop limitée …

Solution adoptée Combinaison des deux actionneurs pour contrôler efficacement la sortie Piézo pour la vitesse et la précision Moteur pour la course complète Guidage mécanique par un système à lames pour coupler les deux étages Système multivariable

Solution adoptée

Définition Un système est dit suractionné s’il possède un nombre plus grand d’actionneurs indépendants que de degrés de liberté Notre application: 1 degré de liberté pour 2 actionneurs

Le prototype

Système complet

Modèle du moteur Il s’agit d’un moteur synchrone à aimant permanent. On contrôle la tension des phases du moteur, groupées 2 par 2 en parallèle. Le problème du frottement sec, ainsi que du jeu dans la transmission sont négligés.

Equations d’état Les 2 tensions de contrôle ua et ub, ne sont pas indépendantes: elles doivent être en quadrature (90°).

Equations d’état (suite) Simplification du modèle: Approximation du 2ième ordre

Modèle du piézo Le piézoélectrique peut être modélisé, en première approximation, comme un circuit électrique RC. Dont la tension sur la capacité est proportionnel au mouvement réalisé. i R u c U C

Modèle du piézo

Modèle d’état global

Modèle d’état global Représentation continue Représentation discrète y(t) u(t) D A A D Représentation discrète u(kh) y(kh)

Modèle d’état global 1) Calcul exact à l’aide d’un logiciel adéquat (Mathematica) Mathematica Simplify[InverseLaplaceTransform[Inverse[sI - A], s, kh]] Ou plus simplement MatrixExp[A*h]

Modèle d’état global 2) Théorème de Cayley-Hamilton Valeurs propres de A: Coefficients du polynôme P(A):

Modèle d’état global discret Evaluation numérique via Matlab

Comparaison: Continu/Discret Dans Matlab: définition du modèle d’états à partir de ces matrices Continu: Discret: Représentation du diagramme de Bode en amplitude: bodemag(Mc, Md)

Comparaison: Continu/Discret Matlab: Md=c2d(Mc,h)

Commande a priori Maintenant que le système a été modélisé Elaboration d’une commande en « feed forward » En boucle ouverte Sans utilisation de capteur Basée entièrement sur le modèle de connaissance

Commande a priori Piézo Moteur Approximation statique Résultat: Rampe du moteur

A suivre Commande en boucle fermée Schéma de contrôle suractionné Observateur Réglage découplé: PID Réglage d’état Intéressé? -> Projets de semestre

FIN