La fonction EXPONENTIELLE Mathématiques SN La fonction EXPONENTIELLE

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Rappels sur les lois des exposants TERMINOLOGIE base exposant = puissance Ex. : 32 = 9 NOTATION LOIS DES EXPOSANTS  a1 = a  a½ = a  am • an = am + n a b am bm m am an  =  a0 = 1  a⅓ = 3 a  = am – n 1 am  (am)n = amn  a - m =  a⅔ = 3 a2  (ab)m = am bm

 (ab)m = am bm a am  am • an = am + n b bm am an m  =  = am – n  EXEMPLES sur les LOIS  (ab)m = am bm  am • an = am + n Ex. #1 : (3x)4 = 34 • x4 Ex. #2 : x7 • y7 = (xy)7 Ex. #1 : 34 • 33 = 37 Ex. #2 : x • x5 = x6 a b am bm m  = Ex. #3 : 7x + 8 = 7x • 78 am an 3 4 32 42  = am – n Ex. #1 : 2 = 58 53 Ex. #1 : x5 y5 x y = 55 Ex. #2 : 5 = x x4 1 x3 Ex. #2 : = x-3 =  (am)n = amn 6x 62 Ex. #3 : 6x – 2 = Ex. #1 : (34)2 = 38 Ex. #2 : x8 = (x8)½ = x4

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Équations et graphique f(x) = cx (forme générale de BASE) Exemple : f(x) = 2x f(x) = acb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) Exemple : f(x) = 3 • 24(x – 3) + 5 f(x) = acx – h + k (forme CANONIQUE) Exemple : f(x) = 3 • 2x – 3 + 5

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Équations et graphique 1 f(x) = 2x (forme générale de BASE où c  1 ) x f(x) 1 1 2 2 4 3 8 -1 ½ -2 ¼

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Équations et graphique 1 2 f(x) = ( )x (forme générale de BASE où c  ] 0 ,1 [ ) 1 x f(x) 1 1 ½ 2 ¼ 3 0,1 -1 2 -2 4

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Équations et graphique 1 f(x) = - 2x (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1) x f(x) - 1 1 - 2 2 - 4 3 - 8 -1 - ½ -2 - ¼

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Équations et graphique 1 f(x) = 2-x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1) x f(x) 1 1 ½ 2 ¼ 3 ⅛ -1 2 -2 4

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Équations et graphique 1 f(x) = 2 • 3x – 1 – 5 (forme générale TRANSFORMÉE) x f(x) - 4,3 1 - 3 2 1 3 13 y = - 5 (asymptote) -1 - 4,8 -2 - 4,9

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Équations et graphique 1 f(x) = a cb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  ] 0 ,1 [ c  1 y = k Équation de l’asymptote Dom f =  Ima f = ] k , +∞ y = k (asymptote)

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Résolutions d’équations 2 méthodes : 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même base exponentielle 2- Utiliser les logarithmes Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 .

Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 . 0 = 11 (72x – 1) – 539 539 = 11 (72x – 1) 49 = 72x – 1 72 = 72x – 1 2 = 2x – 1 3 = 2x 3 2 = x 3 2 Réponse : x  { }

1 2 Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1) – 108 . 1 2 0 = (6x+1) – 108 1 2 108 = (6x+1) 216 = 6x+1 63 = 6x+1 3 = x + 1 2 = x Réponse : x  { 2 }

1 5 Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x – 1 . 1 5 0 = 625 ( )3x – 1 1 625 1 5 = ( )3x 1 54 1 5 = ( )3x 1 5 1 5 ( )4 = ( )3x 4 = 3x 4 3 4 3 = x Réponse : x  { }

1 4 Exemple #4 : Résoudre ( )8x = 2-10x + 18 . 1 22 ( )8x = 2-10x + 18 (2-2)8x = 2-10x +18 2-16x = 2-10x + 18 -16x = -10x + 18 -18 = 6x -3 = x Réponse : x  { -3 }

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Recherche de l’équation A) À partir d’éléments du GRAPHIQUE Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des informations suivantes : La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et l’équation de l’asymptote est y = 0.

Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des informations suivantes : La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et l’équation de l’asymptote est y = 0. f(x) = acx + k (forme CANONIQUE où h = 0) - 20 = ac1 + 0 Système d’équation (1) (avec le point A) - 500 = ac3 + 0 (2) (avec le point B) - 500 = ac3 - 20 = ac1 (2) / (1) : 25 = c2 5 = c (3) - 20 = a(5)1 (3) dans (1) : - 4 = a Réponse : f(x) = - 4 (5)x

Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des informations suivantes : b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et l’équation de l’asymptote est y = 5. f(x) = acx + k (forme CANONIQUE où h = 0) 29 = ac1 + 5 Système d’équation (avec le point A) 24 = ac1 (1) 653 = ac4 + 5 (avec le point B) 648 = ac4 (2) 648 = ac4 24 = ac1 (2) / (1) : 27 = c3 3 = c (3) 24 = a(3)1 (3) dans (1) : 8 = a Réponse : f(x) = 8 (3)x + 5

Nombre de fois que C(t) est capitalisé B) À partir d’un problème de « TAUX D’INTÉRÊTS » … Formule « utile » pour ce genre de problème… Taux d’intérêt Temps i k C(t) = Co (1 + )kt Capital accumulé Capital initial Nombre de fois que C(t) est capitalisé

12 fois par année (en c) Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? C(t) : Ce qu’on cherche Co = 1000 $ i = 5% Données k = 1 fois par année (en a) 3 fois par année (en b) 12 fois par année (en c) a) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 1 C(t) = 1000 (1 + )1t C(3) = 1000 (1,05)3 C(3) ≈ 1157,63 C(t) = 1000 (1,05)t Réponse : 1157,63 $

Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? a) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 1 C(t) = 1000 (1 + )1t C(3) = 1000 (1,05)3 C(3) ≈ 1157,63 C(t) = 1000 (1,05)t Réponse : 1157,63 $ b) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 3 C(t) = 1000 (1 + )3t C(3) = 1000 (1,01667)3(3) C(3) ≈ 1160,40 C(t) = 1000 (1,01667)3t Réponse : 1160,40 $ c) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 12 C(t) = 1000 (1 + )12t C(3) = 1000 (1,0041667)12(3) C(3) ≈ 1161,47 C(t) = 1000 (1,0041667)12t Réponse : 1161,47 $

C) À partir d’un problème de « BACTÉRIES » … Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ? N(t) = 500 (2)t/5 128 000 = 500 (2)t/5 256 = (2)t/5 28 = 2t/5 t 5 8 = 40 = t Réponse : Après 40 heures.

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE- Base naturelle « e » Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme « constante de Néper » et qui est symbolisée par la lettre « e » dont la valeur est environ : e ≈ 2,7182818… C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que : e1 ≈ 2,7182818… e2 ≈ 7,39 e3 ≈ 20,0855 etc.

Graphique de la fonction f(x) = ex 1 f(x) = ex (forme générale de BASE où c  1 ) x f(x) 1 1 ~ 2,72 2 ~ 7,39 3 ~ 20,09 -1 ~ 0,37 -2 ~ 0,14

Mathématiques SN - La fonction EXPONENTIELLE - Résolutions d’inéquations Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 . -26 + 234 (3-0,08x) < 52 3 10 234 (3-0,08x) < 78 1 3 3-0,08x < y = 52 3-0,08x < 3-1 -0,08x < -1 x  12,5 y = - 26 (asymptote) Réponse : x  ] 12,5 , + ∞