- GRAPHES - Composantes et types Mathématiques CST - GRAPHES - Composantes et types

Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types -  Définitions Les graphes sont des représentations mathématiques qui servent à illustrer des situations qui ont une certaine organisation. Ex. : Organisation du système de santé. Elles permettent souvent de faire des choix d’organisation optimaux. Ex. : Le facteur qui distribue le courrier de manière à minimiser ses déplacements.

Les graphes sont constitués d’ensemble de points, appelés « sommets » et de liens, appelés « arêtes » reliant ses sommets. Sommets Boucle A E B D C Arêtes Note : La forme de l’arête n’a pas d’importance (ligne droite ou courbe) Boucle : Arête qui débute et se termine au même sommet.

Les graphes illustrent les relations qui existent entre les sommets. Ex. : Voici la représentation d’un mini-réseau Facebook de 5 personnes. A E C D B On constate donc, entre autres, que A est « ami » avec B. Cependant, A n’est pas « ami » avec C.

A B C E D Voici un graphe quelconque : Degré d’un sommet : Nombre d’arêtes qui touchent au sommet. Sommets Degrés A 1 B 2 C 4 D 3 E 2

A B C E D Voici un graphe quelconque : Chaîne : Suite d’arêtes consécutives. Ex. : ADBE

A B C E D Voici un graphe quelconque : Chaîne : Suite d’arêtes consécutives. Ex. : ADBE Cycle : Chaîne qui commence et se termine au même sommet. Ex. : BECDB

A B C E D Voici un graphe quelconque : Chaîne simple : Chaîne qui ne passe pas deux fois par la même arête. Ex. : ADBE est une chaîne simple.

A B C E D Voici un graphe quelconque : Chaîne simple : Chaîne qui ne passe pas deux fois par la même arête. Ex. : ADBE est une chaîne simple. Ex. : ADBECDB n’est pas une chaîne simple. Cycle simple : Cycle qui ne passe pas deux fois par la même arête.

A B C E D Voici un graphe quelconque : Longueur d’une chaîne : Nombre d’arêtes dans la chaîne ou le cycle. Ex. : La chaîne ADBE a une longueur de 3.

A B C E D Voici un graphe quelconque : Longueur d’une chaîne : Nombre d’arêtes dans la chaîne ou le cycle. Ex. : La chaîne ADBE a une longueur de 3. Distance entre 2 sommets : Longueur de la chaîne la plus courte entre ces 2 sommets. Ex. : La distance entre E et C est de 1.

Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types -  Types de graphes A) Graphe CONNEXE Graphe où il existe une chaîne pour aller à n’importe quel des sommets du graphe. A E C D B A E C D B CONNEXE NON-CONNEXE

B) Graphe ORIENTÉ A E C D B A E C D B Graphe où chacune des arêtes est orientée (flèche). A E C D B A E C D B ORIENTÉ NON-ORIENTÉ Terminologie des graphes orientés : Arcs = Arêtes Chemins = Chaînes Circuits = Cycles

C) Graphe VALUÉ A E C D B A E C D B Graphe où chacune des arêtes a une valeur numérique. A E C D B A E C D B 12 4 2 6 10 VALUÉ NON-VALUÉ Poids de l’arête : Valeur attribuée à l’arête Poids d’une chaîne : Somme des valeurs attribuées à chaque arête de la chaîne. Poids du graphe : Somme des valeurs attribuées à chaque arête du graphe. Ex. : Le poids du graphe ABCDE est de 34.

D) ARBRE A E C D B A E C D B A E C D B Graphe, connexe et non-orienté, qui ne comporte aucun cycle simple. A E C D B A E C D B ARBRE ARBRE A E C D B Cycle simple ! PAS UN ARBRE

Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types -  Chaîne et cycle EULÉRIENS A) Chaîne EULÉRIENNE Chaîne qui passe une seule fois par toutes les arêtes du graphe. Conditions pour avoir une chaîne eulérienne dans un graphe : Avoir exactement 2 sommets* de degré impair. * Ces 2 sommets sont le début et la fin de la chaîne eulérienne.

A E C D B Exemple #1 : La chaîne BADEC est une chaîne eulérienne. Impair A E C D B Impair La chaîne BADEC est une chaîne eulérienne. La chaîne CEDAB est aussi une chaîne eulérienne.

Exemple #2 : A E C D B Impair Impair Impair Impair Il n’y a pas de chaîne eulérienne, car il n’y a pas seulement 2 sommets de degré impair.

Avoir tous les sommets de degré pair. B) Cycle EULÉRIEN Cycle qui passe une seule fois par toutes les arêtes du graphe. Conditions pour avoir un cycle eulérien dans un graphe : Avoir tous les sommets de degré pair.

A E C D B Exemple #1 : Le cycle BCEDAB est un cycle eulérien. Pair

Exemple #2 : Pair A E C D B Pair Impair Impair Pair Il n’y a pas de cycle eulérien, car tous les sommets ne sont pas de degré pair.

Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types -  Chaîne et cycle HAMILTONIENS A) Chaîne HAMILTONIENNE Chaîne qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe. Pour savoir si un graphe contient ou non une chaîne hamiltonienne, il faut procéder par essai-erreur.

Exemple #1 : B C E D F A G La chaîne ABCDEFG est une chaîne hamiltonienne.

Exemple #2 : A E C D B Ce graphe ne contient pas de chaîne hamiltonienne.

F A E B C D B) Cycle HAMILTONIEN Cycle qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe. Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle hamiltonien, il faut procéder par essai-erreur. B C E D F A Exemple #1 : Le cycle EFADCBE est un cycle hamiltonien.

F A E B C D B) Cycle HAMILTONIEN Cycle qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe. Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle hamiltonien, il faut procéder par essai-erreur. B C E D F A Exemple #2 : Ce graphe ne contient aucun cycle hamiltonien.

Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types -  Nombre CHROMATIQUE C’est le plus petit nombre de couleurs qu’il est possible d’utiliser pour colorier les sommets d’un graphe sans que deux sommets adjacents soient de même couleur. On utilise le nombre chromatique avec des graphes dont les arêtes illustrent une situation d’incompatibilité ou de conflit. MÉTHODE : 1. Placer les sommets en ordre décroissant de degré. 2. Attribuer une 1re couleur au sommet de plus grand degré. 3. Attribuer cette même 1re couleur au sommet suivant s’il ne lui est pas relié, sinon utiliser une 2e couleur. 4. Répéter l’étape 3 jusqu’à ce que tous les sommets soient coloriés.

Exemple #1 : Trouver le nombre chromatique du graphe suivant : B F D A C E Sommets (en ordre décroissant de degré) : A (3) A (3) E (3) E (3) B (2) B (2) F (2) F (2) C (1) C (1) D (1) D (1) Réponse : Le nombre chromatique du graphe est 3.

Exemple #2 : Sébastien veut envoyer un message à tous ses amis par Facebook. Cependant, certains de ses amis sont en conflits entre eux et se bloquent l’accès, donc ils ne peuvent voir le message envoyé à l’autre personne. Le graphe ci-dessous illustre les conflits entre les amis de Sébastien. Combien de messages différents doit-il écrire pour rejoindre tous ses amis ? B C E D F A Sommets (en ordre décroissant de degré) : D (4) D (4) F (3) F (3) A (2) A (2) C (2) C (2) E (2) E (2) B (1) B (1)

Exemple #2 : Sébastien veux envoyer un message à tous ses amis par Facebook. Cependant, certains de ses amis sont en conflits entre eux et se bloquent l’accès, donc il ne peuvent voir le message envoyé à l’autre personne. Le graphe ci-dessous illustre les conflits entre les amis de Sébastien. Combien de messages différents doit-il écrire pour rejoindre tous ses amis ? B C E D F A Le nombre chromatique du graphe est 3. Réponse : 3 messages.