Géométrie analytique - coordonnées du point de partage d’un segment - coordonnées du point milieu d’un segment

Un segment de droite peut lui-même être divisé en d’autres segments selon un rapport donné: 1 2 3 4 5 Ici, le point P partage le segment dans un rapport de une partie pour trois parties. 3 1 3 P ( x , y ) Ce rapport de partage s’écrit 1 : 3 ou 1 Un cas particulièrement intéressant est celui d’un point qui divise un segment dans un rapport de partage de 1 : 1 ; c’est-à-dire le milieu d’un segment. 1 2 3 4 5 P ( x , y ) 1 Il est donc essentiel de pouvoir déterminer les coordonnées de ces points particuliers.

Il existe des formules pour déterminer ces coordonnées. y 1 2 3 4 5 6 7 P1(x1 , y1) P2(x2 , y2) P(x , y) a b - coordonnées du point de partage d’un segment : Ppartage ax2 + bx1 a + b , ay2 by1 1 2 3 4 5 6 7 x y P1(x1 , y1) P2(x2 , y2) P(x , y) - coordonnées du point milieu d’un segment : Pmilieu x2 + x1 2 , y2 y1

Pour comprendre comment on obtient ces formules, il faut connaître les propriétés des triangles semblables : - mêmes mesures d’angles homologues; - rapports des segments homologues proportionnels. A’ B’ C’ 8 6 10 Prenons un triangle rectangle: 3 4 5 A B C On lui applique une homothétie de K = 2 et de centre A , puis une translation. Les angles homologues A et A’ sont de mêmes mesures, ainsi que les angles B et B’ et les angles C et C’.

Les rapports des segments homologues sont proportionnels. B’ C’ 8 6 10 3 4 5 A B C m A’ B’ m A B = m A’ C’ m A C = m B’ C’ m B C 10 5 = 8 4 = 6 3 = 2 Les formules pour trouver les coordonnées du point de partage et du point milieu d’un segment sont déduites à partir de cette propriété des triangles semblables.

Coordonnées du point de partage d’un segment y P1(x1 , y1) P2(x2 , y2) 1 2 3 4 5 6 7 Prenons un segment; a b y y2 - plaçons un point P (x , y ); ce point partage le segment dans un rapport a : b; P(x , y) x x2 - complétons 2 triangles rectangles semblables; y1 y - x1 x - déterminons les expressions algébriques représentant les dimensions des cathètes de ces triangles; x Nous pouvons maintenant poser les proportions suivantes en utilisant les côtés homologues: x1 x - x2 = a b y1 y - y2 = a b et

Par transformations, nous obtenons: x y 1 2 3 4 5 6 7 P1(x1 , y1) P2(x2 , y2) P(x , y) x1 - y1 x2 y2 a b Pour l’abscisse du point de partage : x1 x - x2 = a b b ( x – x1 ) = a ( x2 – x ) bx – bx1 = ax2 – ax ax + bx = ax2 + bx1 x ( a + b ) = ax2 + bx1 x ( a + b ) = ax2 + bx1 ( a + b ) ax2 + bx1 a + b x =

Ppartage Par transformations, nous obtenons: x y 1 2 3 4 5 6 7 P1(x1 , y1) P2(x2 , y2) P(x , y) x1 - y1 x2 y2 a b Pour l’ordonnée du point de partage : y1 y - y2 = a b b ( y – y1 ) = a ( y2 - y ) by – by1 = ay2 – ay ay + by = ay2 + by1 y ( a + b ) = ay2 + by1 y ( a + b ) = ay2 + by1 ( a + b ) ay2 + by1 a + b y = Ppartage ax2 + bx1 a + b , ay2 by1 Coordonnées du point de partage:

Ppartage origine du segment extrémité du segment Remarques: 1) ax2 + bx1 a + b , ay2 by1 x y 1 2 3 4 5 6 7 P1(x1 , y1) P2(x2 , y2) P(x , y) x1 - y1 x2 y2 a b coordonnées du point d’origine du segment; coordonnées du point de l’extrémité du segment; L’origine d’un segment est toujours représenté par le couple de coordonnées possédant la plus petite abscisse. Exemple: Un segment est déterminé par les couples de coordonnées suivants: ( 2 , 7 ) et ( 5 , 13 ) origine du segment extrémité du segment

Remarques: y P(x , y) 3 1 P2(x2 , y2) P1(x1 , y1) P2(x2 , y2) P1(x1 , y1) P(x , y) 1 3 1 2 3 4 5 6 7 2) si le rapport de partage a : b < 1 1 3 < 1 exemple: alors le point de partage est plus près de l’origine du segment. si le rapport de partage a : b > 1 3 1 > 1 exemple: x alors le point de partage est plus près de l’extrémité du segment.

Ppartage Ppartage ( 2 , 3 ) Problème Quelles sont les coordonnées du point de partage qui sépare un segment délimité par les points C ( 1 , 2 ) et D ( 5, 6 ) selon un rapport de 1 : 3 ? x y 1 2 3 4 5 6 7 C ( 1 , 2 ) D( 5 , 6 ) P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) a = 1 C ( 1 , 2 ) D ( 5 , 6 ) b = 3 b = 3 Ppartage ax2 + bx1 a + b , ay2 by1 a = 1 ( 2, 3 ) 1 X 5 + 3 X 1 1 X 6 + 3 X 2 , 1 + 3 1 + 3 3 5 + 4 6 + 4 , 8 4 , 12 Ppartage ( 2 , 3 )

Remarque: À la lecture d’une mise en situation, il faut être capable de distinguer le rapport de distance et le rapport de partage . Exemple: Une personne se promène sur une route rectiligne. Après quelques heures, elle a franchi les 3 / 4 de la distance. C’est un rapport de distance. départ Elle est donc rendue ici : 3 1 Cependant, sa position partage le segment dans un rapport de 3 : 1 . C’est le rapport de partage. La formule du point de partage utilise le rapport de partage. Lis attentivement la mise en situation.

Coordonnées du point milieu d’un segment x y 1 2 3 4 5 6 7 P1(x1 , y1) P2(x2 , y2) P(x , y) Le rapport de partage étant de 1 : 1 , la formule du point de partage en est simplifiée ! Ppartage ax2 + bx1 a + b , ay2 by1 a = 1 et b = 1 Pmilieu 1x2 + 1x1 1 + 1 , 1y2 1y1 Pmilieu x2 + x1 2 , y2 y1 Remarque: À la moitié du chemin ( rapport de distance ), le rapport de partage est de 1 : 1 .

Problème Quelles sont les coordonnées du point qui sépare le segment, dont les extrémités sont les points C (2 , 8 ) et D ( 10 , 24 ), en son milieu ? Pmilieu x2 + x1 2 , y2 y1 10 + 2 , 24 8 12 2 , 32 Pmilieu ( 6 , 16 )