Fonction polynomiale de degré 1 Fonction linéaire f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b

Plusieurs situations de la vie courante évoluent selon une même tendance. Exemples: Le salaire d’un employé en fonction des heures travaillées. Le coût d’un plein d’essence en fonction du nombre de litres. Le périmètre d’un carré en fonction de la longueur du côté. Le coût de location en fonction des heures. Le remplissage d’une piscine en fonction des heures. Le revenu des ventes en fonction des articles vendus. La conversion en degré Fahrenheit en fonction des degrés Celsius. En électricité, la courbe de la tension en fonction du courant. Etc.

En mettant en relation les variables de ce type de situations, on observe qu’elles ont tendance à s’aligner selon une ligne droite. Exemples: 5 50 Heures ($) Salaire d’un travailleur

Conversion de température 20 0C 25 0F Conversion de température

Courbe de la tension en fonction du courant Courant (A) 0,25 0,50 0,75 1 Tension (V) 2 4 6 8

Elles suivent un certain modèle mathématique: soit le modèle de la fonction polynomiale de degré 1 mieux connu sous le nom de fonction linéaire: f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b La courbe associée à ce modèle est une ligne droite oblique. x y

Remarque: Dans le plan cartésien, une série de points reliés entre eux porte le nom de courbe. Exemples: x y x y x y courbe linéaire courbe parabolique courbe sinusoïdale

f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b La fonction linéaire est une fonction polynomiale de degré 1 car: l’exposant de la variable indépendante est 1. 1 1 1 f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b Remarque: En algèbre, l’exposant 1 ne s’écrit pas mais il faut se souvenir qu’il est là. La courbe associée à la fonction polynomiale de degré 1 est toujours une ligne droite. La courbe associée à la fonction polynomiale de degré 2 est toujours une parabole. f(x) = x f(x) = x2 x y x y

Examinons donc ce que signifie chacun des éléments de cette fonction. f(x) = a x + b a b représente la variable dépendante représente la variable indépendante dans le plan cartésien, elle correspond à l’axe des ordonnées ( y ). dans le plan cartésien, elle correspond à l’axe des abscisses ( x ). Ces deux variables sont mises en relation par une règle; cette règle est déterminée par les deux paramètres qui les accompagnent. est le taux de variation; il indique la grandeur de la variation entre les deux variables. est l’ordonnée à l’origine; dans une situation réelle, on l’appelle aussi la valeur initiale.

Remarque: Les lettres a et b représentent des paramètres; f(x) = ax + b On aurait pu choisir d’autres lettres. L’important est de savoir que dans une fonction de degré 1 ( fonction linéaire): le paramètre qui multiplie la variable indépendante est le taux de variation; le paramètre qui est additionné ou soustrait à la variable indépendante est l’ordonnée à l’origine. On pourrait aussi bien écrire f(x) = mx + k

x1 x2 y1 y2 a le taux de variation Le taux de variation indique la grandeur de la variation entre les deux variables. x1 x2 - y1 y2 Sa formule est: C’est donc un rapport entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses. Observons ce que cela signifie:

Variation y 1 2 3 4 5 6 7 P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x Le point P1 s’est déplacé vers le point P2 .

Remarque: La détermination des points se fait toujours par rapport à l’axe des abscisses. P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x y 1 2 3 4 5 6 7 P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x y 1 2 3 4 5 6 7 Par rapport à l’axe des abscisses, le point P1 est le premier. Par rapport à l’axe des abscisses, le point P2 est le deuxième.

∆ y : y2 – y1 ∆ x : x2 – x1 Variation x1 x2 y1 y2 y 1 2 3 4 5 6 7 Le point P1 s’est déplacé vers le point P2 . P1 ( x1 , y1 ) x1 y1 Il a donc subi une variation ( un déplacement ) par rapport à l’axe des x. On peut calculer cette variation en reportant les abscisses des points sur l’axe des x. P2 ( x2 , y2 ) x2 y2 Variation des abscisses : V ( x1 , x2 ) : x1 x2 - 7 - 2 = 5 Il a également subi une variation par rapport à l’axe des y. On peut calculer cette variation en reportant les ordonnées des points sur l’axe des y. x Variation des ordonnées : V ( y1 , y2 ) : y1 y2 - 3 - 5 = -2 Une variation négative est significative. La variation est parfois notée par ce symbole : ∆ . ∆ y : y2 – y1 Remarque: ∆ x : x2 – x1

∆ y : variation des ordonnées : ∆ x : variation des abscisses : En reportant la variation des ordonnées sur la variation des abscisses, on obtient le taux de variation de la fonction. 1 2 3 4 5 6 7 P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) ∆ y : variation des ordonnées : y1 y2 - ∆ x : variation des abscisses : x1 x2 - x ∆ y : ∆ x : x1 x2 - y1 y2 = 2 7 - 5 3 = 5 -2 a =

∆ y : variation des ordonnées : ∆ x : variation des abscisses : Dans l’exemple ci-contre: P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x y 1 2 3 4 5 6 7 ∆ y : variation des ordonnées : y1 y2 - ∆ x : variation des abscisses : x1 x2 - ∆ y : ∆ x : x1 x2 - y1 y2 = 2 - 1 5 = 2 4 = 1 2 = a = 2

2 1 a = 2 c’est-à-dire Ce qui signifie que pour un accroissement d’une unité des abscisses, il y a accroissement de deux unités des ordonnées. 1 2 3 4 5 x y Graphiquement, on peut constater ce fait. a = 2 1 + 2 + 1 + 2 + 1

y 5 -2 Dans cet exemple, a = 1 2 3 4 5 6 7 P1 ( x1 , y1 ) Ce qui signifie que pour un accroissement de 5 unités des abscisses, il y a décroissement de deux unités des ordonnées. - 2 P2 ( x2 , y2 ) +5 x

Remarque: Un taux de variation positif indique que la fonction est croissante. Un taux de variation négatif indique que la fonction est décroissante. a > 0 a < 0 P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x y 1 2 3 4 5 6 7 P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x y 1 2 3 4 5 6 7

Une des particularités de la fonction linéaire est que le taux de variation est constant. 1 2 3 4 5 + 1 + 2 x y Cette caractéristique nous permet de déterminer si une table de valeurs représente une fonction linéaire.

x f(x) … -3 -7 -2 -4 -1 2 1 5 8 3 11 x1 x2 y1 y2 Exemple: 2 1 5 8 3 11 En utilisant la formule du taux de variation, on calcule au moins trois couples: x1 x2 - y1 y2 = -4 - -7 -2 - -3 = 3 2 - -1 0 - -1 = 3 11 - 5 3 - 1 = 3 Cette table de valeurs représente une fonction linéaire car le taux de variation est constant.

x f(x) … -3 9 -2 4 -1 1 2 3 x1 x2 y1 y2 Exemple: - = 1 - 0 = 1 4 - 1 2 3 x1 x2 - y1 y2 = 1 - 0 = 1 4 - 1 2 - 1 = 3 9 - 4 3 - 2 = 5 Cette table de valeurs ne représente pas une fonction linéaire car le taux de variation n’est pas constant.

b l’ordonnée à l’origine Graphiquement, l’ordonnée à l’origine est le point de rencontre de la fonction avec l’axe des ordonnées. Dans l’exemple ci-contre, l’ordonnée à l’origine est y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 On appelle ce point ainsi car lorsque la fonction traverse l’axe des ordonnées, elle le fait vis-à-vis l’origine du plan cartésien. À l’origine du plan cartésien, la valeur de x est 0. x Algébriquement, il existe donc un symbole précis pour représenter l’ordonnée à l’origine: f (0) la valeur de la fonction ( la valeur de y ) quand x vaut 0. Ce symbole est très important en mathématique.

Par exemple, dans le graphique illustré ci-contre, On utilise, dans certaines situations, le terme « valeur initiale » pour parler de l’ordonnée à l’origine. Dans une situation réelle, comme le remplissage d’une piscine, on peut avoir un point de départ. Par exemple, dans le graphique illustré ci-contre, 5 10 15 20 25 1 000 2 000 3 000 4 000 Remplissage d’une piscine Litres Minutes il y a déjà 2 000 litres d’eau au départ. C’est la première donnée donc la valeur initiale.

C’est le modèle de base, c’est-à-dire, le modèle le plus simple. Maintenant que l’on connaît les différentes significations des termes d’une fonction du premier degré, voyons quelles différences il y a entre les 3 formes: f(x) = x C’est le modèle de base, c’est-à-dire, le modèle le plus simple. f(x) = ax En fait, on devrait lire f(x) = ax + b f(x) = x : f(x) = 1 x + 0 a = 1 et b = 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 x y Graphiquement, cela correspond à: Dans une table de valeurs, cela correspond à: x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … f(x) Les valeurs de x sont égales aux valeurs de f(x). En géométrie, cette droite correspond à la droite d1.

Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation directe. f(x) = ax Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation directe. On l’appelle aussi, simplement, fonction linéaire. Graphiquement, elle peut être orientée de plusieurs façons y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 mais elle passera toujours par l’origine du plan cartésien. Dans une table de valeurs, les couples de coordonnées forment toujours une suite proportionnelle. x Exemple: … -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 … x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … f(x) f(x) x = -10 -5 = -8 -4 = -6 -3 = -4 -2 = -2 -1 = 2 1 = 4 2 = … = 2 Bien entendu sauf le couple ( 0 , 0 ).

La fonction f(x) = x est une fonction linéaire de variation directe Remarque: La fonction f(x) = x est une fonction linéaire de variation directe mais comme le coefficient ( le paramètre ) a = 1, les mathématiciens en ont fait la fonction de référence ou fonction de base du modèle linéaire. Toutes les fonctions que nous étudierons sont considérées comme fonction de base quand le paramètre a = 1 et que les autres paramètres sont égales à zéro. Exemple: La fonction du deuxième degré, appelée fonction quadratique, peut s’écrire comme suit: f(x) = ax2 + bx + c Si a = 1, b = 0 et c = 0, alors la fonction s’écrit: f(x) = 1x2 + 0x + 0 c’est-à-dire f(x) = x2 1 x y C’est la fonction de base du second degré et son graphique est :

Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation partielle. f(x) = ax + b Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation partielle. On l’appelle aussi fonction affine. Graphiquement, elle peut être orientée de plusieurs façons y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 mais, bien entendu, elle ne passera jamais par l’origine du plan. x

f(x) = ax + b Le paramètre b crée une translation verticale de la fonction de variation directe. Exemple: y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 f(x) = 0,5x f(x) = 0,5x + 2 x f(x) = 0,5x - 2 Remarque: Les taux de variation étant identiques dans chaque équation, les 3 droites sont donc parallèles entre elles.

Dans une table de valeurs, le taux de variation est constant mais les différents couples ne sont pas proportionnels. … 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4.5 … x … -2 -1 0 1 2 3 4 5 … f(x) 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 x y f(x) x = = 1 -2 2,5 1 = 3 2 = 4

Comment déterminer la règle d’une fonction du premier degré Parmi les différentes fonctions, l’équation de la fonction linéaire est la plus facile à déterminer. En effet, une propriété géométrique de la droite dit que: « Par 2 points, on ne peut faire passer qu’une seule droite. » Donc sachant qu’une fonction est linéaire, nous n’avons besoin que de deux couples de coordonnées pour en déterminer la règle.

x1 x2 y1 y2 Dans un graphique, y Il n’est pas nécessaire de prouver que la fonction est linéaire. 1 2 3 4 5 6 7 8 -4 -3 -2 -1 -5 -6 -7 -8 ( 2 , 8 ) Étape 1: En utilisant des coordonnées les plus précises possibles, on calcule le taux de variation. x1 x2 - y1 y2 = -3 2 - -7 8 = a = 3 x La règle débute donc par: f(x) = 3x + b ( -3 , -7 )

En utilisant le début de la règle, Étape 2: En utilisant le début de la règle, on détermine la valeur du paramètre b en utilisant un des couples. y 1 2 3 4 5 6 7 8 -4 -3 -2 -1 -5 -6 -7 -8 ( 2 , 8 ) f(x) = 3x + b avec ( 2 , 8 ) On remplace f(x) par l’ordonnée du couple, 8 = 3x + b On remplace x par l’abscisse du couple, x 8 = 3 X 2 + b On isole b. 8 = 3 X 2 + b ( -3 , -7 ) 8 = 6 + b 2 = b La règle de cette fonction est: f(x) = 3x + 2 Remarque: Parfois le graphique nous permet de déterminer b, mais ce n’est pas toujours précis tandis que le calcul, lui, est précis.

x1 x2 y1 y2 Dans une table de valeurs … x f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … -14 -10 -6 -2 2 6 10 … Il faut d’abord vérifier si la table de valeurs représente une fonction linéaire; en utilisant la formule du taux de variation, on calcule au moins trois couples: x1 x2 - y1 y2 = -2 - -6 0 - -1 = 4 2 - -2 1 - 0 = 4 10 - 6 3 - 2 = 4 La table de valeurs représente bien une fonction linéaire et le taux de variation est 4. La règle débute donc par f(x) = 4x + b

La règle débute donc par f(x) = 4x + b … x f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 … -14 -10 -6 -2 2 6 10 … On calcule b avec le début de la règle et un couple. f(x) = 4x + b avec ( 2, 6 ) On remplace f(x) par l’ordonnée du couple, L’ordonnée à l’origine est la valeur de f(0) 6 = 4x + b On remplace x par l’abscisse du couple, 6 = 4 X 2 + b La règle de cette fonction est: f(x) = 4x - 2 On isole b. 6 = 4 X 2 + b 6 = 8 + b -2 = b Remarque: mais elle ne le donne pas toujours; il faut alors le calculer. Parfois la table de valeurs nous permet de déterminer b,

x1 x2 y1 y2 Dans un problème théorique Une fonction linéaire passe par les points ( 1 , 37 ) et ( 5 , 85 ). Quelle est sa règle ? Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire, donc nécessairement: f(x) = ax + b x1 x2 - y1 y2 = 1 5 - 37 85 = Étape 1: Calculer le taux de variation: a = 12 Étape 2: Déterminer b : f(x) = 12x + b avec ( 1 , 37 ) ou ( 5 , 85 ) 37 = 12 X 1 + b 85 = 12 X 5 + b 37 = 12 + b 85 = 60 + b 25 = b 25 = b La règle est donc f(x) = 12x + 25

Une fonction linéaire passe par les points ( 2 , 66 ) et ( 4 , 132 ) Une fonction linéaire passe par les points ( 2 , 66 ) et ( 4 , 132 ). Quelle est sa règle ? Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire, donc nécessairement: f(x) = ax + b x1 x2 - y1 y2 = 2 4 - 66 132 = Étape 1: Calculer le taux de variation: a = 33 Étape 2: Déterminer b : f(x) = 33x + b avec ( 2 , 66 ) 66 = 33 X 2 + b 66 = 66 + b 0 = b La règle est donc f(x) = 33x Il s’agit donc d’une fonction linéaire de variation directe.

Dans une mise en situation Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. Détermine la règle de cette situation. Les mises en situation sont les plus difficiles à transposer en équation. Il faut, en premier, lire attentivement les données du problème pour identifier les variables indépendante et dépendante. Dans cette situation, on pourrait se demander quelle variable dépend de l’autre ? Le salaire dépend-il du nombre de fenêtres lavées ? ou Le nombre de fenêtres lavées dépend-il du salaire ? Bien entendu, le salaire dépend du nombre de fenêtres lavées; alors, variable dépendante: le salaire variable indépendante: le nombre de fenêtres lavées.

Dans une mise en situation Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. La formulation « en fonction de » permet également de déterminer les variables. Ce qui suit cette formulation est toujours la variable indépendante. En fonction du nombre de fenêtres lavées; variable indépendante: le nombre de fenêtres lavées; variable dépendante: le salaire. f ( nombre de fenêtres lavées ) = le salaire ( var.dépendante ) var. indépendante ( x ) f

Déterminer la règle dans une mise en situation. Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. Pour détecter le taux de variation, il faut comprendre ce qu’est un taux. Un taux est un rapport entre 2 éléments. Exemple : 0,50 $ par fenêtre 0,50 $ pour 1 fenêtre. 10,00$/heure 10,00$ pour 1 heure 100 km/hre 100 km pour 1 heure

Dans une mise en situation Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire qu’il peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. On a une augmentation régulière: 0,50 $ par fenêtre. La fonction est donc une fonction linéaire. On a une valeur initiale: 20,00 $ ( salaire de base ) La règle est donc: f(x) = 0,50x + 20

Aujourd’hui, au Québec, l’unité de mesure utilisée pour calculer la vitesse automobile est le kilomètre/heure ( Km/h ). Anciennement, ( et encore aujourd’hui aux USA ) le système était le mille/heure ( MPH ). Dans les voitures, les odomètres représentent les deux systèmes de mesures. Quelle règle permet d’exprimer le mille/heure en fonction du kilométrage/heure ?

x1 x2 y1 y2 Variable indépendante: x : Km/h Variable dépendante: f(x) : MPH Déterminons, d’abord, au moins 3 couples de coordonnées pour savoir si la relation est linéaire. Il faut lire le plus précisément possible. ( Km/h , MPH ) ( 0 , 0 ) ( 80 , 50 ) ( 160 , 100 ) Maintenant, calculons le taux de variation entre ces couples: a = x1 x2 - y1 y2 = 80 - 50 = 80 160 - 50 100 = 160 - 100 = 0,625 0,625 0,625 C’est bien une fonction linéaire; f(x) = 0,625x Il ne sert à rien de calculer b car le premier couple indique ( 0 , 0 ).

Lorsque la règle d’une fonction est établie, elle sert d’outil pour effectuer certains calculs. On peut ainsi calculer soit des valeurs de x soit des valeurs de f(x). Exemple: En utilisant la règle f(x) = 3x + 2 Détermine f (10 ) la valeur de f quand x = 10 la valeur de la fonction Il s’agit alors d’un simple calcul: f(x) = 3 x + 2 On remplace x par la valeur suggérée: f(10) = 3 X 10 + 2 = 32 Dans le plan cartésien, ce point serait situé à ( 10 , 32 ).

Exemple: En utilisant l’équation f(x) = 3x + 2 Détermine x quand f(x) = 62 La valeur de x quand f(x) = 62 quand la fonction vaut 62 Ici, il faut RÉSOUDRE le problème: f(x) = 3 x + 2 On remplace f(x) par la valeur suggérée: 62 = 3 x + 2 On isole x : 62 = 3 x + 2 60 = 3 x 20 = x Dans le plan cartésien, ce point serait situé à ( 20 , 62 ).

Exemple: À partir de l’équation de la vitesse automobile, f(x) = 0,625x Calcule en MPH, une vitesse de 160 Km/h. f(x) = MPH x = km/h f(x) = 0,625x f(160) = 0,625 X 160 = 100 Réponse : 100 MPH Calcule en Km/h, une vitesse de 60 MPH f(x) = 0,625x 60 = 0,625x 96 = x Réponse : 96 Km/h

Une fonction linéaire passe par les points ( 3 , 36 ) et ( 8 , 71 ). Détermine f(13) et la valeur de x quand f(x) = 173,9. Il faut, en premier, déterminer la règle. Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire donc nécessairement: f(x) = ax + b x1 x2 - y1 y2 = 3 8 - 36 71 = Étape 1: Calculer le taux de variation: a = 7 Étape 2: Déterminer b : f(x) = 7x + b avec ( 3 , 36 ) 36 = 7 X 3 + b 36 = 21 + b 15 = b La règle est donc f(x) = 7x + 15

Utilisons, maintenant, la règle pour déterminer les valeurs demandées. L’équation est f(x) = 7x + 15 f(13) = 7 X 13 + 15 = 106 f(x) = 173,9 f(x) = 7x + 15 173,9 = 7x + 15 158,9 = 7x 22,7 = x

En utilisant la fonction f(x) = 0,5x + 2 y En utilisant la fonction f(x) = 0,5x + 2 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 Calcule f(0): f(x) = 0,5x + 2 f(0) = 0,5 X 0 + 2 = 2 x soit le couple ( 0 , 2 ) f(0) est le symbole de l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur de f(x) quand x = 0 Calcule f(x) = 0: f(x) = 0,5x + 2 0 = 0,5x + 2 -2 = 0,5x -4 = x soit le couple ( -4 , 0 ) Remarque: Le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses s’appelle l’abscisse à l’origine.

À l’origine du plan cartésien, la valeur de Le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses s’appelle l’abscisse à l’origine. y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 On appelle ce point l’abscisse à l’origine car lorsque la fonction traverse l’axe des abscisses, elle le fait vis-à-vis l’origine du plan cartésien. À l’origine du plan cartésien, la valeur de f(x) est 0 ( la valeur de y est 0 ). x Algébriquement, il existe donc un symbole précis pour représenter l’ordonnée à l’origine: f(x) = 0 la valeur de x quand f(x) vaut 0. quand la fonction vaut 0 Ce symbole est très important en mathématique.

f(0) : symbole de l’ordonnée à l’origine En résumé y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 f(0) : symbole de l’ordonnée à l’origine Ici, les coordonnées de ce point sont: ( 0 , 2 ) x f(x) = 0: symbole de l’abscisse à l’origine Ici, les coordonnées de ce point sont: ( -4 , 0 ) Remarque: L’abscisse à l’origine est appelée aussi le zéro de fonction car à ce point précis, la fonction est égale à 0, f(x) = 0 Ces deux symboles sont très importants à retenir car ils reviennent dans tous les types de fonctions.

Conclusion La fonction polynomiale de degré 1, soit la fonction linéaire, sert à représenter certaines situations de la vie courante. Cette présentation nous a permis d’en explorer plusieurs éléments. Beaucoup d’informations ont été présentées; sont très importantes. mais, toutes ces informations Tu devrais visionner cette présentation à quelques reprises pour que l’utilisation de toutes les informations vues devienne aussi simple qu’un réflexe.