Géométrie analytique Relations entre deux droites Remarque: Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations effectuées dans cette présentation, nous utiliserons des portions de droites limitées dans les deux sens, c’est-à-dire des segments.

Dans le plan cartésien, deux droites peuvent avoir, entre elles, différentes positions. Elles peuvent être : 5 10 15 20 25 30 35 - parallèles et disjointes ; - parallèles et confondues ; - sécantes ; - sécantes et perpendiculaires ;

Droites parallèles et distinctes 5 10 15 20 25 30 35 A B C D Déterminons l’équation du segment AB : A ( 5 , 20 ) B ( 25 , 30 ) m ( A , B ) : x1 x2 - = y1 y2 5 25 - = 20 30 1 2 y = mx + b y = 0,5x + b avec le point ( 5 , 20 ) 20 = 0,5 X 5 + b 20 = 2,5 + b 17,5 = b donc y = 0,5x + 17,5

5 10 15 20 25 30 35 A B C D Déterminons l’équation du segment DC : C ( 30 , 20 ) D ( 10 , 10 ) m ( D , C ) : x1 x2 - = y1 y2 10 30 - = 20 1 2 y = mx + b y = 0,5x + b avec le point ( 10 , 10 ) 10 = 0,5 X 10 + b 10 = 5 + b 5 = b donc y = 0,5x + 5

5 10 15 20 25 30 35 A B C D Droites parallèles et distinctes : - les pentes sont égales; m1 = m2 - les ordonnées à l’origine sont différentes. b1 ≠ b2 Équation du segment AB : Équation du segment DC : y1 = 0,5x + 17,5 donc y2 = 0,5x + 5 m1 = m2 b1 ≠ b2

Droites parallèles confondues Prenons les deux équations suivantes: y = - 2x + 5 10x + 5y – 25 = 0 et Ces deux droites représentent deux droites parallèles confondues. Pour mieux observer, écrivons les deux droites sous une même forme: y1 = - 2x + 5 10x + 5y – 25 = 0 5y = -10x + 25 y2 = -2x + 5 On constate que les deux équations ont les mêmes pentes: m1 = m2 et les mêmes ordonnées à l’origine: b1 = b2 elles sont donc une par-dessus l’autre.

Droites sécantes 5 10 15 20 25 30 35 A B C Déterminons l’équation de AB : Pente AB : 5 y = mx + b avec A ( 10 , 5 ) y = 5x + b 5 = 5 X 10 + b 5 = 50 + b - 45 = b Équation de AB : y = 5x - 45 Déterminons l’équation de BC: Pente BC : - 5 3 30 = + b - 75 3 y = mx + b 30 = - 25 + b avec B ( 15 , 30 ) y = x + b - 5 3 55 = b y = x + 55 - 5 3 30 = X 15 + b - 5 3 Équation de BC :

5 10 15 20 25 30 35 Droites sécantes : - les pentes sont différentes; m1 ≠ m2 - les ordonnées à l’origine peuvent être différentes ou égales. y2 = x + 55 - 5 3 Équation de AB : y1 = 5x - 45 Équation de BC : m1 ≠ m2 b1 ≠ b2

Droites perpendiculaires 5 10 15 20 25 30 35 A B C D Deux droites perpendiculaires sont nécessairement sécantes; nous leurs donnons un nom particulier du fait qu’elles se croisent selon un angle précis, c’est-à-dire un angle droit ( 900 ). Déterminons l’équation du segment AB: A ( 5 , 20 ) B ( 25 , 30 ) m ( A , B ) : x1 x2 - = y1 y2 5 25 - = 20 30 1 2 y = mx + b 20 = 5 + b 2 avec le point ( 5 , 20 ) y = x + b 1 2 20 = 2,5 + b 17, 5 = b 20 = X 5 + b 1 2 donc y = x + 17,5 1 2

5 10 15 20 25 30 35 A B C D Déterminons l’équation du segment DC: D ( 10 , 30 ) C ( 20 , 10 ) x1 x2 - = y1 y2 m ( D , C ) : 10 20 - = 30 - 20 10 = - 2 y = mx + b y = - 2x + b avec le point ( 10 , 30 ) 50 = b 30 = - 2 X 10 + b donc y = - 2x + 50 30 = - 20 + b

Droites perpendiculaires 5 10 15 20 25 30 35 A B C D - les pentes sont inverses et opposées; m1 = - 1 m2 - les ordonnées à l’origine peuvent être différentes ou égales. Équation du AB : y1 = x + 5 1 2 Équation du DC : y2 = - 2x + 50 m1 = - 1 m2 b1 ≠ b2 Remarque: m1 = - 1 m2 peut aussi s’écrire : m1 X m2 = -1

En résumé 5 10 15 20 25 30 35 Droites: - parallèles disjointes: m1 = m2 b1 ≠ b2 - parallèles confondues: m1 = m2 b1 = b2 - sécantes: m1 ≠ m2 - perpendiculaires: m1 = - 1 m2 De ces quatre positions relatives entre des droites, deux sont particulièrement intéressantes car elle nous permettent de déterminer certaines informations: - droites parallèles entre elles; - droites perpendiculaires entre elles.

Problème Quelle est l’équation d’une droite d2 passant par le point ( 4 , 3 ) et qui est parallèle à une autre droite d1 passant par les points ( 3 , 7 ) et ( 6 , 13 ) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d1 : m ( P1 , P2 ) : x1 x2 - = y1 y2 3 6 - = 7 13 6 3 = P1 ( 3 , 7 ) P2 ( 6 , 13 ) 2 Remarque: Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de d1 . Étape 2 : Déterminer l’équation de la droite d2 : La droite d2 est parallèle à la droite d1 donc elle a la même pente. y = mx + b y = 2x + b avec le point ( 4 , 3 ) 3 = 2 X 4 + b 3 = 8 + b -5 = b donc y = 2x - 5

Problème Quelle est l’équation d’une droite d2 passant par le point ( 10 , 41 ) et qui est perpendiculaire à une autre droite d1 passant par les points ( 2 , 15 ) et ( 6 , 31 ) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d1 : m ( P1 , P2 ) : x1 x2 - = y1 y2 2 6 - = 15 31 16 4 = P1 ( 2 , 15 ) P2 ( 6 , 31 ) 4 Remarque: Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de d1 . Étape 2 : Déterminer l’équation de la droite d2 : La droite d2 est perpendiculaire à la droite d1 donc sa pente est inverse et opposée: - 1 4 y = mx + b 41 = 0 + b - 1 4 y = x + b avec le point ( 10 , 41 ) - 1 4 41 = - 2,5 + b 43,5 = b 41 = X 10 + b - 1 4 donc y = x + 43,5 - 1 4

Problème Quelle est l’équation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4 , 6 ) et ( 10 , 30 )? Pour déterminer cette équation, il faut connaître les caractéristiques d’une médiatrice: « Une médiatrice est un segment élevé perpendiculairement sur le milieu d’un autre segment. » Il faut donc déterminer les coordonnées du point milieu du segment AB. Il faut aussi déterminer la pente du segment AB puisque la médiatrice (perpendiculaire) aura une pente inverse et opposée à la pente du segment AB.

Problème Quelle est l’équation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4 , 6 ) et ( 10 , 30 )? Étape 1: Déterminer les coordonnées du point milieu de AB. Ptmilieu (A , B) : x2 + x1 2 , y2 y1 P 10 + 4 2 , 30 6 P 14 2 , 36 P ( 7 , 18 )

Problème Quelle est l’équation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4 , 6 ) et ( 10 , 30 )? Étape 2 : Calculer la pente de la droite AB : x1 x2 - = y1 y2 4 10 - = 6 30 24 6 = P1 ( 4 , 6 ) P2 ( 10 , 30 ) m ( A , B ) : 4 Remarque: Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de AB. Étape 3 : Déterminer l’équation de la médiatrice : La médiatrice est perpendiculaire à la droite AB donc sa pente est inverse et opposée: - 1 4 y = mx + b 18 = + b - 7 4 y = x + b avec le point ( 7 , 18 ) - 1 4 18 = - 1,75 + b (point milieu de AB) 19,75 = b 18 = X 7 + b - 1 4 donc y = x + 19,75 - 1 4