Figures semblables et rapport de similitude

Les figures semblables ~ ~

Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes: - mêmes formes; - mêmes mesures d’angles homologues; - rapports des côtés homologues proportionnels. Des figures sont semblables si et seulement si elles possèdent à la fois ces trois conditions. Les figures semblables sont créées par des similitudes donc une ( des ) transformation(s) utilisant toujours une homothétie. Le rapport de similitude (K) joue donc un rôle important dans ce type de figures.

Voici quelques exemples: Détermine si les figures suivantes sont semblables et justifie ta réponse. non, elles n’ont pas la même forme. 1 3 6 2 oui, mêmes formes, mêmes angles homologues congrus et côtés homologues proportionnels. 1 2 3 6 = 1 3 7 2 non, mêmes formes, mêmes angles homologues congrus mais côtés homologues non proportionnels. 1 2 3 7 ≠ 2 5 oui, les figures isométriques sont des figures semblables avec K = 1.

noté K. Le rapport de similitude est le rapport des segments homologues, Il s’établit comme suit: mesure d’un segment d’une des figures mesure du segment homologue de l’autre figure 4 6 A B C 12 8 A’ B’ C’ Exemple : = m hauteur  A’B’C’ m hauteur  ABC m A’C’ K : m A C = 12 6 = 8 4 = 2 ou 2 Remarque: m A C K : m A’C’ = 6 12 = 1 2 Tu pourrais aussi poser ce rapport: L’important est de garder le même rapport tout au long du problème.

4 8 Ces deux pyramides à base carrée sont semblables. Quel est le rapport des hauteurs et des apothèmes ? 8 4 rapport des côtés : = 2 rapport des hauteurs : 2 rapport des apothèmes : 2 Le rapport de similitude ( K ) est le même pour tous les segments homologues. 2 cm 12 cm 9 cm Ces deux cylindres sont semblables. Quelle est la mesure du rayon du petit cylindre ? HAUTEUR hauteur = RAYON rayon 12 9 2 x = 12 x = 18 x = 1,5 cm

le rapport de similitude À partir du rapport de similitude, on peut déterminer plusieurs mesures, en créant d’autres rapports : K : le rapport de similitude le rapport des périmètres ( Rp ) K2 : le rapport des aires ( Ra ) K3 : le rapport des volumes ( Rv ) Examinons ce qu’il en est.

Un carré de 3 unités de côtés Si on double ses dimensions, on obtient un carré de 6 unités de côtés. 3 6 Le rapport de similitude est le rapport entre les côtés homologues. On l’appelle K. 6 3 Ici, K = = 2

Un carré de 3 unités de côtés Si on double ses dimensions, on obtient un carré de 6 unités de côtés. 3 6 K = 6 3 = 2 Qu’en est-il du rapport des périmètres ? Carré 1: 4c = 4 X 3 = 12 Carré 2: 4c = 4 X 6 = 24 24 12 Rapport des périmètres: = 2 Le rapport de similitude = le rapport des périmètres.

Le nombre k s’appelle le rapport de similitude. Un carré Si on double ses dimensions : K = 2, on obtient un nouveau carré dont l ’aire est plus grande. 4 fois K2 = 4 Un carré Si on triple ses dimensions : K = 3, on obtient un nouveau carré dont l ’aire est plus grande. 9 fois K2 = 9 Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre K alors son aire est multipliée par K². Le nombre k s’appelle le rapport de similitude. Le nombre k2 s’appelle le rapport des aires.

Un cube Si on double ses dimensions : K = 2, on obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand. 8 fois K3 = 8

Le nombre k s’appelle le rapport de similitude. Ainsi de suite… Un cube Si on triple ses dimensions : K = 3, on obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand. 27 fois K3 = 27 Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre K alors son volume est multiplié par K3. Le nombre k s’appelle le rapport de similitude. Le nombre k3 s’appelle le rapport des volumes.

Rapport des périmètres Le rapport des périmètres = le rapport de similitude A B C D 6 cm 10 cm A’ B’ C’ D’ 3 cm 5 cm Exemple: m A’B’ m AB = 3 6 = 1 2 Périmètre A’B’C’D’ Périmètre ABCD = 16 32 = 1 2 K = Kp =

Rapport des aires Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré Raire = K2 A B C D 6 cm 10 cm A’ B’ C’ D’ 3 cm 5 cm Exemple: 1 2 1 2 Aire A’B’C’D’ Aire ABCD = 15 60 = 1 4 K = Ra = soit = K2

Rapport des volumes Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube Rv = K3 10 cm 6 cm 4 cm Prisme 1 3 cm 5 cm 2 cm Prisme 2 Exemple: 1 2 3 1 2 Volume du prisme 2 Volume du prisme 1 = 240 30 = 1 8 K = Rv = soit = K3

a b c d = Ces 4 rapports K : le rapport de similitude K : le rapport des périmètres (Rp) K2 : le rapport des aires (Ra) K3 : le rapport des volumes (Rv) permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions. a b c d =

Problème 1 : Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK. 34 A B C D E 20 40 30 14 m GI m AC = 20 34 = 10 17 K = = 30 x 10 17 x = 30 X 17 10 m GH : x = 51 = 40 x 10 17 x = 40 X 17 10 m IH : x = 68 = 14 x 10 17 x = 14 X 17 10 m LH : x = 23,8

Problème 2 : Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK. 34 A B C D E 20 40 30 14 m AC m GI = 20 34 = 10 17 K = Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 100 Le rapport des périmètres = le rapport de similitude Périmètre ABCD Périmètre GHIK : = 100 x 10 17 x = 100 X 17 10 x = 170

Problème 3 : Détermine l’aire du parallélogramme GHIK. 34 A B C D E 20 40 30 14 Aire ABCD: L X l = 30 X 14 = 420 10 17 K = Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires 10 17 2 = 102 172 = 100 289 K2 = Aire GHIK Aire ABCD : = 420 x 100 289 x = 420 X 289 100 x ≈ 1213,8

Problème 4 : Sachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cm2, détermine le volume du gros cylindre. 9 Volume du petit cylindre : Aire de la base X hauteur 50 X 4 = 200 cm3 4 K = 4 9 Le rapport de similitude au cube = le rapport des volumes 4 9 3 = 43 93 = 64 729 K3 = Volume du grand Volume du petit : = 200 x 64 729 x = 200 X 729 64 x ≈ 2278,1 cm3

Problème 5 : Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ? Rapport des périmètres : 2 3 Périmètre du petit Périmètre du grand : = x 54 2 3 x = 54 X 2 3 x = 36 cm

Problème 6 : Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm2 et de 45 cm2. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ? L’information fournie est le rapport des aires. On demande la mesure d’un segment. Il faut donc retrouver le rapport de similitude ( K ). Ra : 20 45 20 ÷ 5 45 ÷ 5 = 9 4 donc K : 9 4 = 9 4 = 3 2 Petite hauteur Grande hauteur : = 16 x 2 3 x = 3 X 16 2 x = 24 cm

Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm3 et 3125 cm3. Problème 7 : Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm3 et 3125 cm3. Quel est le rapport de similitude et le rapport des aires ? 1600 3125 1600 ÷ 25 3125 ÷ 25 = 64 125 Rv : 125 64 3 = 125 64 3 = K = 5 4 5 4 2 = 52 42 = 16 25 Ra : K2 =

Problème 8 : Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données. Aire totale : 126,72 cm2 6 2 4 Aire totale : 88 cm2 Volume du petit prisme : L X l X H = 6 X 2 X 4 = 48 cm3 88 126,72 Ra : Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes. Il faut donc trouver, en premier, le rapport de similitude.

4 chiffres après la virgule pour de la précision. alors K : Ra : 88 126,72 si 88 126,72 ≈ 88 126,72 = 9,3808 11,257 4 chiffres après la virgule pour de la précision. alors K : 9,3808 11,257 ≈ 3 9,38083 11,2573 ≈ 825,504 9 1 426,487 6 K3 ≈ K3 = Volume du petit prisme Volume du gros prisme = 825,5049 1 426,487 6 = 48 cm3 x x ≈ 48 cm3 X 1 426,487 6 825,5049 ≈ 82,94 cm3

Tu pourrais aussi procéder comme suit : 88 126,72 si alors K : 88 126,72 ou 126,72 88 et K3 : 126,72 88 3 = 88 1 2 126,72 3 = 88 3 2 126,72 88 3 2 126,72 48 X 126,72 3 2 88 x = Volume du petit prisme Volume du grand prisme : = 48 x Avec la calculatrice: 48 X 126,72 ^ ( 3 ÷ 2 ) ÷ 88 ^ ( 3 ÷ 2 ) ≈ 82,94 cm3

Cette masse est proportionnelle au volume du bijou. Problème 11 : Il faut 160 mg d’argent pour fabriquer ce bijou. Deux autres modèles sont fabriqués. Calcule la masse d ’argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles. Cette masse est proportionnelle au volume du bijou. Echelle 1/2 Echelle 3/2 K = 1 2 1 8 K3 = K = 3 2 27 8 K3 = Masse de la figure réduite Masse de la figure : 1 8 = x 160 Masse de la figure agrandie Masse de la figure : 27 8 = x 160 x = 20 mg x = 540 mg

Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou. Problème 12 : Il faut 4 mg d’or pour recouvrir ce bijou. Deux autres modèles sont fabriqués. Calcule la masse d’or nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles. Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou. Echelle 1/2 Echelle 3/2 K = 1 2 1 4 K2 = K = 3 2 9 4 K2 = Masse de la figure réduite Masse de la figure : 1 4 = x Masse de la figure agrandie Masse de la figure : 9 4 = x x = 1 mg x = 9 mg

Remarques: 1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin: - pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K - pour trouver des mesures d’aires : K2 - pour trouver des mesures de volumes : K3 2) Prends le temps d’écrire correctement la proportion. 3) Pour passer du rapport des aires au rapport des volumes ou vice-versa, ramène d’abord ces rapports au rapport de similitude.