Les expressions algébriques Manipulations de base

Dans cette présentation, nous verrons comment: - additionner et soustraire des expressions algébriques; - multiplier et diviser des expressions algébriques;

L’addition et la multiplication d’expressions algébriques ne répondent pas aux mêmes règles. y Illustrons par des figures géométriques, leurs différences. Pour calculer le périmètre de ces figures, il faut faire la somme des côtés. le carré: x + x + x + x = 4x On peut additionner tous ces x car ils représentent la même quantité. le rectangle: x + y + x + y = 2x + 2y On peut additionner les x entre eux car ils représentent la même quantité. On peut additionner les y entre eux car ils représentent la même quantité. On ne peut pas additionner les x avec les y car ils représentent des quantités différentes; cependant, on peut les écrire ensemble. Le périmètre du carré est un monôme: 4x Le périmètre du rectangle est un binôme: 2x + 2y

x x x2 xy y Pour calculer l’aire de ces figures, il faut multiplier leurs côtés. le carré: x . x = x2 le rectangle: x . y = x y Entre deux lettres, il y a toujours un signe de multiplication. Si on avait plusieurs carrés identiques, on pourrait additionner leurs aires. x2 + = 3x2 Si on avait plusieurs rectangles identiques, on pourrait additionner leurs aires. x y + = 4 x y

Ces quelques exemples géométriques ont permis de cerner la nuance existant entre différents termes algébriques. Voyons maintenant les règles officielles: Addition et soustraction de termes: - additionner ou soustraire les coefficients des termes semblables; - ne pas modifier la partie littérale. Exemples: 3x2 + x2 = 4x2 Vérifions pour x = 2: 3(2)2 + 22 = 4(2)2 12 + 4 = 16 égalité vraie Remarque: Se vérifier en donnant aux expressions des valeurs numériques est un bon moyen de savoir si l’opération a été effectuée correctement. 3x2 + x = 3x2 + x on ne peut pas additionner ces deux quantités car elles représentent des quantités différentes.

2x2 + 3y + x2 + 4y + 5 = 3x2 + 7y + 5 Pour x = 2 et y = 3 2(2)2 + 3X3 + 22 + 4X3 + 5 = 3(2)2 + 7X3 + 5 8 + 9 + 4 + 12 + 5 = 12 + 21 + 5 38 = 38 x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6 x2 – 5y + 3x2 + 3y = 4x2 – 2y 3a2 + 5b + ( - a2 + 2b ) = 3a2 + 5b - a2 + 2b = 2a2 + 7b Un + en avant d’une parenthèse ne modifie pas les signes des termes à l’intérieur si on enlève les parenthèses.

3a2 + 5b - ( - a2 + 2b ) = 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b Un - en avant d’une parenthèse modifie les signes des termes à l’intérieur si on enlève les parenthèses. Vérifions avec a = 2 et b = 3 3a2 + 5b - ( -a2 + 2b) = 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b 3(2)2 + 5X3 - ( -1X(2)2 + 2X3) 3(2)2 + 5X3 + 22 -2X3 4(2)2 + 3X3 12 + 15 - ( -4 + 6 ) 12 + 15 + 4 - 6 16 + 9 12 + 15 - ( 2 ) 31 - 6 12 + 15 - 2 25 25 25 Remarque: Il n’y a que la variable qui est au carré .

3a2 + 5b - ( - a2 + 2b ) = 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b Un - en avant d’une parenthèse modifie les signes des termes si on enlève les parenthèses. C’est additionner par l’opposé des termes. 3a2 + 5b - ( - a2 + 2b ) = 3a2 + 5b + + a2 - 2b = ou plus simplement 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b

Remarque: Quand il y a plusieurs termes à additionner, on peut les placer comme suit: 2x2 + 3y + x2 + 4y + 5 = 2x2 + 3y + 5 + x2 + 4y 3x2 + 7y + 5 3a2 + 5b - ( - a2 + 2b) = 3a2 + 5b - + On additionne par l’opposé des termes. + - a2 + 2b - 4a2 + 3b Remarque: L’opération par laquelle on regroupe des termes semblables par addition ou soustraction s’appelle la réduction.

Multiplication de termes - multiplier les coefficients entre eux; - multiplier les lettres semblables en additionnant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final. 4x2 X 2x1 = 8x3 Exemples: Cette expression est un monôme car il n’y a pas de signe d’addition ou de soustraction. On pourrait lire: 4 . x . x . 2 . x donc 8x3

L’addition des exposants vient de lois simples sur les exposants. 23 = 21 X 21 X 21 soit 21+1+1 Quand on multiplie des bases semblables, on additionne les exposants. 23 X 22 = 23+2 = 25 21 X 21 X 21 X 21 X 21 = 25 x . x . x . x . x = x5

4x2 X 2xy = 8x3y 7x X xy X 2y = 14x2y2 2x2 X y X 3x X 2y X 3z = 36x3y2z - inclure les lettres différentes dans le terme final; car 36x3y2z signifie 36 X x3 X y2 X z

x3 ÷ x2 = x3-2 = x Division de termes - diviser les coefficients entre eux; - diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final. Exemples: 8x3 ÷ 2x2 En posant la division sous la forme d’une fraction, on pourrait simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. 8x3 2x2 = 2 . 2 . 2 . x . x . x 2 . x . x 1 . 1 . 1 . = 4x On peut aussi effectuer la division des coefficients: 8 ÷ 2 = 4 Soustraire les exposants de la variable: x3 ÷ x2 = x3-2 = x Réponse: 4x

Quand on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. 23 ÷ 22 = 2 X 2 X 2 2 X 2 23 22 = = 2 ou 23 ÷ 22 = 23-2 = 2 2 X 2 X 2 2 X 2 = 2 1 2 1 22 23 = 22 ÷ 23 = ou 22 ÷ 23 = 22-3 = 2-1 =

2 1 -1 -1 -1 -1 -1 2-1 = 23 22 21 20 2-1 2-2 8 4 2 1 2 1 4 1 Démonstration: ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 Diminuer de 1 l’exposant, c’est diviser le puissance par la base. Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1. a0 = 1 Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse. 2 1 2 1 2 1 2 1 X 4 1 2-1 = = 2-2 = = = a-1 = a 1 On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.

x3 6x2 y ÷ 2xy = 3x 12x3 y2 z ÷ 6yz = 2x3y 12x3 y2 z 6yz 2 . 2 . 3 . x . x . x . y . y . z 2 . 3 . y . z soit = = 2x3 y 12x3 y2 z ÷ 6yz : soit 12 ÷ 6 = 2 x3 y2 ÷ y1 = y2-1 = y1 = y z ÷ z = z1 ÷ z1 = z1-1 = z0 = 1 2 . x3 . y . 1 = 2x3 y

x y2 x y2 x2 ÷ x1 = x2-1 = x1 = x x . y2 . x y2 2 z 2x2y3z ÷ 4xyz2 = 2 . 2 . x . y . z . z 2 . x . x . y . y . y . z 2 z x y2 soit = = 2x2y3z ÷ 4xyz2 : soit 2 ÷ 4 = 1 2 21 ÷ 22 = 21-2 = 2-1 = x2 ÷ x1 = x2-1 = x1 = x y3 ÷ y1 = y3-1 = y2 1 z z1 ÷ z2 = z1-2 = z-1 = 1 2 . x . y2 . z 2 z x y2 =

x2 ÷ x1 = x2-1 = x y 2x 4x2 ÷ 2xy = 4x2 2xy = 2 . x . y soit 4x2 ÷ 2xy = soit 4x2 ÷ 2x1y1 4x2 X 1 ÷ 2x1y1 ou 4x2 X y0 ÷ 2x1y1 : 4 ÷ 2 = 2 x2 ÷ x1 = x2-1 = x 1 y y0 ÷ y1 = y0-1 = y-1 = y 2x 2 . x . 1 y =