Inéquations du premier degré à deux variables

Inéquation du premier degré à deux variables Une solution d’une inéquation du premier degré à deux variables correspond à un couple de valeurs qui vérifient cette inéquation. L’ensemble des couples qui vérifient une inéquation du premier degré à deux variables est appelé l’ensemble-solution. Exemple : Dans un magasin, on vend des téléphones cellulaires de type A à 55,00 $ et d’autres de type B à 85,00 $. Si le montant mensuel des ventes pour ces deux types d’appareil est d’au plus 3 540,00 $, combien de téléphones de chaque type pourrait-on vendre ? 1. Les variables sont : - le nombre de téléphones de types A : x - le nombre de téléphones de types B : y 2. L’inéquation est : 55x + 85y ≤ 3 540,00 $.

3. L’inéquation est : 55x + 85y ≤ 3540,00 On pourrait vendre, par exemple: 8 téléphones à 55,00 $ et 14 téléphones à 85,00 $. En substituant 8 à x et 14 à y, on obtient: 55,00 X 8 + 85,00 X 14 ≤ 3540,00 soit 1 630,00 ≤ 3 540,00. Vrai Le couple ( 8 , 14 ) est donc une solution de cette inéquation, car il rend l’inéquation vraie.

3. L’inéquation est : 55x + 85y ≤ 3540 Remarque: Il y a d’autres combinaisons possibles (d’autres solutions possibles); Exemple: 10 téléphones à 55,00 $ et 20 téléphones à 85,00 $. 55,00 X 10 + 85,00 X 20 ≤ 3 540,00 soit 2 250,00 ≤ 3 540,00. Vrai Il y a donc beaucoup de solutions possibles, mais il faudra toujours obtenir un montant total inférieur à 3 540 $. Il y a donc beaucoup de solutions possibles.

3. L’inéquation est : 55x + 85y ≤ 3540 Remarque: Certains couples ne sont pas des solutions de l’inéquation. Exemple: 30 téléphones à 55,00 $ et 25 téléphones à 85,00 $. 55,00 X 30 + 85,00 X 25 = 3 775,00 3 775,00 ≤ 3 540,00. Ce qui est faux car 3 775,00 ≥ 3 540,00. Le couple (30 , 25) n’est donc pas solution de l’inéquation.

Demi-plan Comme l’ensemble-solution d’une inéquation peut comporter une grande quantité de couples, il est préférable de représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables dans un plan cartésien. L’ensemble de ces couples forme un demi-plan qui représente l’ensemble-solution de cette inéquation. Habituellement, on colorie ou on hachure ce demi-plan. Tous les points dont les coordonnées vérifient l’inéquation sont situés du même côté de la droite correspondant à l’équation formée à partir de cette inéquation.

Demi-plan La droite frontière d’un demi-plan correspond à un trait plein lorsque l’équation fait partie de l’inéquation ( ≤ ou ≥ ). La droite frontière d’un demi-plan correspond à un trait en pointillé lorsque l’équation en est exclue ( < ou > ).

Exemple 1 2 1 4 6 -2 -4 -6 9 8 7 5 3 -1 -3 -5 -7 -8 -9 Soit l’inéquation suivante : y ≥ 2x – 3 Il faut tout d’abord tracer la droite frontière dans le plan cartésien. On procède comme si c’était une équation. y = 2x – 3 On calcule 2 couples de coordonnées en utilisant l’équation. y = 2x – 3 Pour x = -2 y = 2 X -2 – 3 = -7 donc (-2 , -7) Pour x = 4 y = 2 X 4 – 3 = 5 donc (4 , 5)

2 1 4 6 -2 -4 -6 9 8 7 5 3 -1 -3 -5 -7 -8 -9 On hachure alors le demi-plan contenant les couples-solutions qui vérifient l’inéquation. C’est l’ensemble-solution. Exemple 1 P2 Soit l’inéquation suivante : y ≥ 2x – 3 On trace un trait plein, car l’équation fait partie de l’inéquation. P1 On choisit quelques couples pour connaître lesquels vérifient l’inéquation. On remplace alors x et y dans l’inéquation pour vérifier si l’inégalité est vraie. P3 P4 Ex : P1 ( 0 , 0 ) Ex : P2 ( 6 , 4 ) Ex : P3 ( -8 , -5 ) Ex : P4 ( -2 , -7 ) y ≥ 2x – 3 0 ≥ 2(0) – 3 0 ≥ -3 y ≥ 2x – 3 4 ≥ 2(6) – 3 0 ≥ 9 y ≥ 2x – 3 -5 ≥ 2(-8) – 3 -5 ≥ -19 y ≥ 2x – 3 -7 ≥ 2(-2) – 3 -7 ≥ -7 L’inégalité est vraie donc le P4 ( -2, -7 ) fait partie de l’ensemble-solution. L’inégalité est vraie donc le P1 ( 0 , 0 ) fait partie de l’ensemble-solution. Vrai L’inégalité est fausse donc le P2 ( 6, 4 ) ne fait pas partie de l’ensemble-solution. Faux L’inégalité est vraie donc le P3 ( -8, -5 ) fait partie de l’ensemble-solution. Vrai Vrai

2 1 4 6 -2 -4 -6 9 8 7 5 3 -1 -3 -5 -7 -8 -9 On hachure alors le demi-plan contenant les couples-solutions qui vérifient l’inéquation. C’est l’ensemble-solution. Exemple 2 P2 Soit l’inéquation suivante : y > -3x + 4 P3 Il faut tout d’abord tracer la droite dans un plan cartésien. P1 y = -3x + 4 On trace un trait pointillé, car l’équation ne fait pas partie de l’inéquation. P4 On choisit quelques couples pour connaître lesquels vérifient l’inéquation. Ex : P1 ( 0 , 0 ) Ex : P2 ( 6 , 4 ) Ex : P3 ( 2 , 3 ) Ex : P4 ( 3 , -5 ) y > -3x + 4 0 > -3(0) + 4 0 > 4 y > -3x + 4 4 > -3(6) +4 0 > -14 y > -3x + 4 3 > -3(2) + 4 3 > -2 y > -3x + 4 -5 > -3(3) +4 -5 > -5 Faux Vrai Vrai Faux

Problème Les ingénieures et ingénieurs forestiers classifient parfois les forêts selon leur densité. On qualifie une forêt de « dense » lorsqu’on y dénombre plus de 1 000 arbres par hectare ( 10 000 m2 ). On s’intéresse au nombre de conifères et de feuillus par hectare qui composent une forêt du nord de l’Abitibi dans le but de classifier cette forêt. Représente graphiquement cette situation. 1) Les variables sont: x: le nombre de conifères y: le nombre de feuillus 2) L’inéquation est : x + y > 1 000

3) Construire le graphique. 500 1 000 1 500 Nombre de conifères par hectare Nombre de feuillus par hectare x y Essences forestières 3) Construire le graphique. 4) Tracer la droite à partir de l’inéquation: x + y > 1 000 donc y = -x + 1000 5) Déterminer la zone à hachurer en utilisant un couple quelconque. Exemple: ( 0 , 0 ) 0 + 0 > 1 000 Faux Le couple ( 0 , 0 ) ne fait pas partie de la région-solution ( l’ensemble-solution) car il rend l’inéquation fausse. Donc, il faut hachurer le demi-plan ne contenant pas ce couple. Remarque: Lorsque le couple ( 0 , 0 ) n’est pas sur la droite frontière, on peut l’utiliser car il facilite les calculs.