Les carrés gréco-latins, ou la problématique qu’Euler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège Saint-Michel 2010

Plan de la présentation Introduction: Euler et les 36 officiers Les carrés latins Les carrés latins orthogonaux Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n impair Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n pair n multiple de 4 n non-multiple de 4 Utilités et applications

Euler et les 36 officiers 1782 Leonhard Euler 6 régiments, 6 grades, 36 officiers Carré gréco-latin d’ordre 6 Impossibilité démontrée par Tarry

Les carrés latins Carré d’ordre n n éléments différents Ici, n=5 5 colonnes Carré d’ordre n n éléments différents 5 lignes Ici, n=5

Les carrés latins 1 2 3 4 5 Carré d’ordre n n éléments différents 5 colonnes Carré d’ordre n n éléments différents 1 2 3 4 5 5 lignes Ici, n=5

Les carrés latins 1 2 3 4 5 Carré d’ordre n n éléments différents 5 colonnes Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne 1 2 3 4 5 5 lignes Ici, n=5

Les carrés latins 1 2 3 4 5 Carré d’ordre n n éléments différents 5 colonnes Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne 1 2 3 4 5 5 lignes Ici, n=5

1 2 3 4 5

Carrés latins orthogonaux Deux carrés latins A et B de mêmes dimensions n × n sont orthogonaux lorsque les couples formés par leur superposition sont tous différents, et forment ainsi un carré eulérien.

Exemple de 2 carrés latins orthogonaux 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1

Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux 1 2 3 4 5 A B C D E

Sans la méthode des diagonales opposées 1 2 3 4 5 A B C D E

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E

Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux 1 2 3 4 5 A B C D E

Superposition de ces 2 carrés latins orthogonaux 1 A 2 B 3 C 4 D 5 E

Création d’un carré gréco-latin pair n pair multiple de 4 - n/4 est pair - n/4 est impair n pair non-multiple de 4

n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés

n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres

A B C D

A B C D E F G H

n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres

A 1 B 2 C 3 D 4 E F G H 7 8 5 6

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres Division en 4 mini-carrés

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

n/4 pair Division du carré principal en 4 petits carrés Travailler les petits carrés séparément pour les lettres Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré Terminer le carré à la manière d’un sudoku

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8

n pair non-multiple de 4

1ère étape : Les groupes Majeurs Mineurs Type 1 A, B, C, D, E, F, G H, I, J Type 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10

2ème étape : Les zones

3ème étape : Le remplissage 1. La zone des mineurs : 8 9 10 H I J

2. La zone mixte : Nos mineurs étant associés entre eux, il faut associer ceux du type 1 aux majeurs du type 2 ainsi que ceux du type 2 aux majeurs du type 1. Cependant, il nous reste : -3 mineurs du type 1 à associer à 7 majeurs du type 2 = 21 cases. -3 mineurs du type 2 à associer à 7 majeurs du type 1 = 21 cases. Il nous reste donc 42 cases à remplir donc 7 qui seront chacune une association de 2 majeurs

H I J 5 2 3 6 4 7 1

8 10 9 G D F A E B C

On va rassembler maintenant les 5 carrés créés précédemment en deux carrés latins. Le premier rassemblera le type 1, le deuxième le type 2. A H I G J D F B E C 1 5 2 8 3 10 9 6 4 7

3. La zone des majeurs : Nous pouvons construire 2 carrés gréco-latins différents. Celui dont les zones des majeurs des caractères du type 1 sont identiques (notre exemple) et celui dont les zones des majeurs des caractères du type 2 sont symétriques par rapport à la diagonale. E B C F D G A 4 7 6 5 1 2 3 E F G A B C D 2 3 4 5 6 7 1

Comment choisir les mineurs? Généralisation: pour n’importe quel n pair non-multiple de 4, le nombre de mineurs vaudra:

Utilités et applications Médecine Agronomie Organisation de tournois …

Exemple d’application

Merci pour votre écoute!