LE CHOIX EN CONTEXTE D’INCERTITUDE

Note: On considère ici des situations risquées (incertaines) auxquelles sont associées des paiements et des probabilités connues. On cherche: - à quantifier le risque - à voir comment un consommateur compare des alternatives risquées - à voir comment représenter les préférences vis-à-vis du risque

La valeur espérée La valeur espérée d’une situation risquée (incertaine) est la moyenne pondérée des résultats possibles, les poids étant les probabilités associées à chacun des résultats.

Ex: Jeu #1: 1 $ à pile ou face

La valeur espérée ou (le paiement espéré) E(X) du jeu #1 est: E(X) = PA * XA + PB * XB = (1/2) * 1$ + (1/2) * (-1$) = 0

Ex: Jeu #2: 2000 $ à pile ou face

La valeur espérée ou (le paiement espéré) E(X) du jeu #2 est: E(X) = PA * XA + PB * XB = (1/2) * 2000$ + (1/2) * (-2000$) = 0

Les deux jeux (1 et 2) ont le même paiement espéré, i.e. 0. Dans ce cas, êtes-vous vraiment indifférents entre les deux jeux ? Est-ce que les individus basent leur décision uniquement sur la base de la valeur espérée ?

 Les individus tiennent compte de la valeur espérée mais aussi du risque. Le risque est associé à la variabilité des résultats Comment le mesurer ? La variance peut être utilisée comme mesure du risque.

La variance 2 = p1 [(X1 - E(X))2 ] + p2 [(X2 - E(X))2 ] La variance (2 ) est la moyenne pondérée des carrés des écarts par rapport à la valeur espérée E(X) (les poids sont les probabilités associées à chacun des événements) 2 = p1 [(X1 - E(X))2 ] + p2 [(X2 - E(X))2 ]

Note: L’écart-type (), qui correspond simplement à la racine carrée de la variance, peut aussi être utilisé.

Variance du jeu #1: 2 = (1/2) * (1-0)2 + (1/2) * (-1-0)2 = 1 Variance du jeu #2: 2 = (1/2) * (2000-0)2 + (1/2) * (-2000-0)2 = 4 000 000  le jeu #2 est beaucoup plus risqué

Ex: Jeu #3: Pile ou face

La valeur espérée ou (le paiement espéré) E(X) du jeu #3 est: E(X) = PA * XA + PB * XB = (1/2) * 2000$ + (1/2) * (-1600$) = 200 Comment savoir comment un individu évalue le jeu #3 ? (jouera-t-il ou non) ?

L’utilité espérée Un individu associe à chaque niveau de revenu (R) un niveau d’utilité (satisfaction) selon une fonction U = f (R). Dans un contexte de risque (incertitude), les individus fondent leurs décisions sur l’utilité espérée E(U(R)) plutôt que sur le revenu espéré E(R). E(U(R)) = pA U(RA) + pB U(RB)

Ex:. Considérons un niveau de revenu initial Ex: Considérons un niveau de revenu initial de R= 3 000 $ et le jeu #2. Le revenu espéré est: E(R) = PA* RA + PB * RB = PA* (R + XA) + PB * (R + XB) = 1/2 * (3000 + 2000) + 1/2 * (3000 - 2000) = 3000

Pour l’individu qui refuse de jouer (qui a de l’aversion pour le risque), la perte d’utilité associée à la perte des 2000 $ est supérieure au gain d’utilité associé au gain des 2000 $. U(3000)- U(1000) > U(5000) - U(3000) perte d’utilité > gain d’utilité

U = f(R) pour un individu «risquophobe» U(1000) 3000 1000 5000 U(3000) U(5000) Gain Perte

Un individu qui a de l’aversion pour le risque (risquophobe) préférera un revenu certain R à une situation risquée d’espérance E(R) = R.  L’individu risquophobe a une fonction d’utilité U = f(R) concave  Pour l’individu risquophobe, l’utilité marginale du revenu est décroissante

U = f(R) pour un individu neutre au risque Gain U(3000) Perte U(2000) R 2000 3000 4000

Un individu qui est neutre face au risque sera indifférent entre un revenu certain R et une situation risquée d’espérance E(R) = R.  L’individu neutre face au risque a une fonction d’utilité U = f(R) linéaire  Pour l’individu neutre face au risque, l’utilité marginale du revenu est constante

U = f(R) pour un individu « risquophile » Gain U(3000) Perte U(2000) R 2000 3000 4000

Un individu qui est risquophile (aime le risque) préférera une situation risquée d’espérance E(R) = R à un revenu certain R.  L’individu risquophile a une fonction d’utilité U = f(R) convexe  Pour l’individu risquophile, l’utilité marginale du revenu est croissante

Il ne jouera pas au jeu # 2 car: E(U(R)) = pA U(RA) + pB U(RB) Supposons qu’un individu ayant de l’aversion pour le risque a une fonction d’utilité U = f(R) = R 1/2 Il ne jouera pas au jeu # 2 car: E(U(R)) = pA U(RA) + pB U(RB) = 1/2* (5000)1/2 + 1/2* (1000)1/2 = 51,17 est inférieur à U(3000) = 30001/2 = 54,77 qui correspond à l’utilité de la situation certaine, i.e. (celle de ne pas jouer)

Comment évalue-t-il le jeu #3 ? E(U(R)) = pA U(RA) + pB U(RB) = pA U(R + XA) + pB U(R + XB) = 1/2* (3000 + 2000)1/2 + 1/2* (3000 - 1600)1/2 = 54,05 Ce qui est inférieur à U(3000)1/2 = 54,77.  Donc l’individu ne jouera pas.