Rappel: V.A. discrètes: , Moyenne Variance Écart type

Distribution Hypergéométrique x = Nombre des individus dans l’échantillon qui possèdent la caractéristique étudiée: max(0, n –(N-r)) ≤ x ≤ min(n, r), N = taille de la population n = taille de l’échantillon r = Nombre des individus dans la population qui possèdent la caractéristique étudiée p = proportion des individus de la population qui possèdent

Distribution Binomiale x: nombre de succès en n tirages: p: la probabilité d’obtenir x succès en n tirages. n: nombre d’épreuves de Bernoulli(nombre de tirage)

Distribution de Poisson X = Le nombre de succès obtenus pendant une durée de temps donnée: t = Période de temps considérée = Intensité du processus considéré (constante de proportionnalité) ; correspond au nombre moyen de succès pour une période de temps unitaire. λ = nombre moyen de succès dans l’intervalle de temps considéré e = 2.71828183…

Exercice 1 La demande journalière Q d’un produit obéit à la loi de probabilité suivante : Quantité Q 1 2 3 4 5 6 f(X) 0.05 0.15 0.25 0.30 Les demandes journalières successives sont supposées indépendantes. a) Calculer l’espérance et l’écart type de Q. b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on n’ait une rupture de stock1 que le dernier jour de la semaine. c) Le prix de vente d’un article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût d’une rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance. Note (1) : Une rupture de stock survient lorsque la demande excède la quantité en main d’un article donné.

a) E(X) = (0 x 0,05) + (1 x 0,15) + (2 x 0,25 ) + (3 x 0,30) + (4 x 0,15) + (5 x 0,05) + (6 x 0,05)= 2,70 E(X2) = (0 x 0,05) + (12 x 0,15) + (22 x 0,25 ) + (32 x 0,30) + (42 x 0,15) + (52 x 0,05) + (62 x 0,05)= 9,30 Var (X) = E(X2) – (E(X))2 = 9,30 – (2,70)2 = 2,01 L’écart type est donc la racine de la variance donc la racine de 2,01 = 1,4177 b) P(X≤5)5 x P(X>5)=(F(X=5))5 x f(X=6)= 0,95 5 x 0,05 = 0,0387 c) Pour obtenir ces valeurs, on sais que chaque jour 5 unités de l’article sont en stock, si la demande pour une journée particulière est nulle alors 100$ par unité stockée en trop sont perdu d’où une perte de 500 $. Si pour une journée particulière on a une demande d’une unité et bien on fait un profit de 400$ pour cette unité vendue mais une perte de 100$ pour chacun des 4 unités non vendues d’où le profit est nul. Et ainsi de suite. E(Profit) = (-500 x 0,05) + (0 x 0,15) + (500 x 0,25) + (1000 x 0,3) + (1500 x 0,15) + (2000 x 0,05) + ( 1960 x 0,05) = 823 $ Bénéfice -500 500 1000 1500 2000 1960 f(x) 0,05 0,15 0,25 0,30

Exercice 2 Un vendeur reçoit une commission de $50.00 par vente. Pour les dernières semaines, ses efforts ont produit les résultats suivants : Déterminer la distribution de probabilité correspondant à la variable aléatoire X. Calculer la distribution de probabilité cumulée de X. Calculer la probabilité que le nombre de ventes hebdomadaire : excède 5 ; soit compris entre 1 et 4 inclusivement. Calculer l’espérance et la variance de X. Calculer le revenu espéré du vendeur pour une semaine donnée. Calculer la probabilité que le revenu de la semaine suivante diffère du revenu moyen de plus de $100. x = # de ventes par semaine 1 2 3 4 5 6 7 8 # de semaines où ces ventes sont réalisées 12 15 20 18 10

a. Déterminer la distribution de probabilité correspondant à la variable aléatoire On peut calculer les probabilités en calculant les fréquences relatives. Le nombre de semaines où x ventes sont réalisées sera divisé par le nombre total de semaines observées, soit 100 semaines. Par exemple, f(x=0) = P(X=0) = 3/100 = 0,03. x = # de ventes par semaine 1 2 3 4 5 6 7 8 total f(x) 0.03 0.12 0.15 0.2 0.18 0.1 0.07

b. Calculer la distribution de probabilité cumulée de X ? La distribution de probabilité cumulée de X est la fonction de répartition F(x). Par exemple, F(x=3) = P(X ≤ 3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) =0,03+0,12+0,15+0,20 = 0,50. x = # de ventes par semaine 1 2 3 4 5 6 7 8 F(x) 0.03 0.15 0.30 0.50 0.62 0.80 0.90 0.97

c. Calculer la probabilité que le nombre de ventes hebdomadaire : excède 5? soit compris entre 1 et 4 inclusivement? Ceci revient à calculer : P(X > 5) = P(X=6) +P(X=7) + P(X=8) = f(6) +f(7) + f(8) = 0,10 + 0,07 + 0, 03 = 0,20 Ou encore, P(X > 5) = 1 – P(X ≤ 5) = 1 - F(5) = 1 – 0,80 = 0,20 P(1 ≤ X ≤ 4) = P(X=1) +P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = f(1) +f(2) + f(3) + f(4) = 0,12 + 0,15 + 0, 20 + 0,12 = 0,59 P(1 ≤ X ≤ 4) = P(0 < X ≤ 4) = F(4) – F(0) = 0,62 – 0,03 = 0,59.

d. Calculer l’espérance et la variance de X? Ceci revient à calculer : E(X) = (0 x 0,03) + (1 x 0,12) + (2 x 0,15) + (3 x 0,20) + (4 x 0,12) + (5 x 0,18) + (6 x 0,10) + (7 x 0,07) + (8 x 0,03) = 3,73 semaines Var(X) = E(X2) – (E(X))2 = (02 x 0,03) + (12 x 0,12) + (22 x 0,15) + (32 x 0,20) + (42 x 0,12) + (52 x 0,18) + (62 x 0,10) + (72 x 0,07) + (82 x 0,03) – (3,73)2 = 3, 977

e. Calculer le revenu espéré du vendeur pour une semaine donnée? Sachant que le vendeur obtient $50 pour chaque vente réalisée, on peut établir les différentes valeurs possibles du revenu de la semaine (R): Le revenu espéré pour une semaine donnée est l’espérance du revenu E(R). E(R) = (0 x 0,03) + ($50 x 0,12) + ($100 x 0,15) + ($150 x 0,20) + ($200 x 0,12)+ ($250 x 0,1) + ($300 x 0,10) + ($350 x 0,07) + ($400 x 0,03) = $186,50 Revenu 50 100 150 200 250 300 350 400 f(x) 0.03 0.12 0.15 0.2 0.18 0.1 0.07

f. Calculer la probabilité que le revenu de la semaine suivante diffère du revenu moyen de plus de $100? Calculer la probabilité que le revenu de la semaine suivante diffère de plus de $100 du revenu moyen revient à calculer la probabilité que le revenu R dépasse le revenu moyen $186,50 de plus de $100 ou qu’il lui soit inférieur de plus de $100. Ceci revient donc à calculer : P(R < $86,50) + P(R > $286,50) = P(R ≤ 50) + P(R ≥ 300) = P(X ≤ 1) + P(X ≥ 6) = P(X ≤ 1) + (1 - P(X ≤ 5)) = F(1) + (1 – F(5)) = 0,15 + (1 – 0,80) = 0,35 .

Exercice 3 On considère une urne contenant trois boules jaunes, deux boules bleues, une boule rouge et quatre boules vertes. On tire, au hasard, une boule de l'urne. 1. Calculer la probabilité des événements suivants : J = "tirer une boule jaune" B = "tirer une boule bleue" R = "tirer une boule rouge" V = "tirer une boule verte" 2. En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d'argent selon la convention suivante : si la boule tirée est rouge, on gagne 10 $, verte, on gagne 2 $, jaune ou bleue, on gagne 3 $. Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage le gain réalisé. a. Déduire de la question 1) : P(X = 2), P(X = 3) et P(X = 10). b. Calculer l'espérance mathématique de X, sa variance puis son écart– type. 3. Maintenant, on gagne toujours 10$ si la boule tirée est rouge, 2 $ si elle est verte mais on gagne 3 $ si elle est jaune et m $ si elle est bleue ; m désignant un réel positif. Calculer m pour que le gain moyen espéré soit de 4,5 $.

Réponse Comme chaque boule a autant de chance d’être tirée, on est dans une situation d’équiprobabilité. La probabilité p d’un événement peut donc se calculer comme suit : On a ainsi : P(J) = , P(B) = , P(R) = , P(V) = , 2. a. On a : P(X = 2) = P(V) = Comme les événements J et B sont incompatibles, on a : P(J  B) = P(J) + P(B) D’où : P(X = 3) = P(J  B) = P(J) + P(B) = P(X = 10) = P(R) = b. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau ci-dessous

Réponse… Valeurs de X Total Probabilité 1 L'espérance mathématique de X est donnée par : La variance de X est donnée par: Écart type:

Réponse… Valeurs de Y Total Probabilité Notons Y la nouvelle variable aléatoire correspondant au gain moyen dans cette situation. La loi de probabilité de Y est donnée par le tableau suivant : Valeurs de Y Total Probabilité 1 On souhaite avoir : Donc:

Exercice 4 1. Une grande enveloppe contient les douze "figures" d'un jeu de carte : les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. On tire, simultanément et au hasard, cinq cartes de l'enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. Interpréter. 2. Dans la même enveloppe contenant les mêmes douze cartes, on effectue successivement cinq fois le tirage d'une carte que l'on remet à chaque fois dans l'enveloppe. Soit Y la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des cinq tirages. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance mathématique. Interpréter.

Réponse La probabilité de choisir k rois (k::0, 1, 2, 3, 4) est: La loi de probabilité est donnée par: X 1 2 3 4 Total Probabilité L'espérance mathématique de X est donnée par : En moyenne, le nombre de rois obtenus, par cette méthode de tirage, est 1,67.

Réponse 1bis.Si le tirage s’effectue sans remise, alors la variable aléatoire X = le nombre de rois suit une loi Hypergéométrique de paramètres N=12, n=5 et p=4/12 = 1/3 (p est la proportion de rois dans les 12 cartes) L'espérance mathématique de X est donnée par : En moyenne, le nombre de rois obtenus, par cette méthode de tirage, est 1,67.

Réponse Soit E l'expérience : "on tire, au hasard et avec remise, une carte de l'enveloppe et on regarde si c'est un roi. Cette expérience aléatoire possède deux issues : obtenir un roi (Succès) ou non (Échec). C'est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre: p = P(Succès) = On répète, de manière indépendante, n = 5 fois cette épreuve de Bernoulli. La variable aléatoire Y (nombre de rois obtenus) représente le nombre de succès obtenus (0 ≤ Y ≤ 5) On peut donc affirmer que la variable aléatoire Y est binomiale de paramètre n = 5 et p = Donc:

Réponse La loi de probabilité est donnée par: Y 1 2 3 4 5 Total 1 2 3 4 5 Total Probabilité 0,132 0,329 0,165 0,041 0,004 L'espérance mathématique de X est donnée par : En moyenne, le nombre de rois obtenus, par cette méthode de tirage, est 1,67.

Exercice 5 a) Selon nos expériences d’antan, un examen de statistique rencontre un taux de succès parfait (donc l’obtention de la note A+) de 15 %. Quelle est la probabilité que, sur 10 étudiants sélectionnés aléatoirement dans l'auditoire, il y ait : a1) exactement 2 étudiants réussissant avec la note A+? a2) plus de 5 étudiants ne réussissant pas avec la note parfaite de A+? a3) Quelle est la moyenne ainsi que la variance de la note parfaite calculées sur la base de ces 10 étudiants sélectionnés aléatoirement?

a1) X suit une Bin~(n=10,p=0,15)

a2) plus de 5 étudiants ne réussissant pas avec la note parfaite de A+ peut être traduit par: 0 n’ayant pas A+ = 10 A+ 1 n’ayant pas A+ = 9 A+ 2 n’ayant pas A+ = 8 A+ 3 n’ayant pas A+ = 7 A+ 4 n’ayant pas A+ = 6 A+ 5 n’ayant pas A+ = 5 A+ 6 n’ayant pas A+ = 4 A+ 7 n’ayant pas A+ = 3 A+ 8 n’ayant pas A+ = 2 A+ 9 n’ayant pas A+ = 1 A+ 10 n’ayant pas A+ = 0 A+

Nous devons considérer seulement les valeurs rouges: X = le nombre de A+

a3) la moyenne et la variance de la note parfaite calculées sur la base de ces 10 étudiants sélectionnés aléatoirement Moyenne d’une binomiale: E(x) = n * p = 10 * 0,15 = 1,5 Variance d’une binomiale: V(x) = n * p * q = 10 * 0,15 *(1-0,15) =1,275