Les bases des probabilités Julia Bozukova

Notion Signification Exemple Expérience aléatoire Son résultat dépend du hasard. Lancer un dé Expérience aléatoire à plusieurs étapes Expérience composée de plusieurs étapes Lancer un dé deux fois et noter les résultats Univers des résultats possibles : Ω L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Ω = {1,2,3,4,5,6} Événement C’est un sous-ensemble de l’univers des résultats possibles. A: Obtenir un nombre pair A = {2,4,6} élémentaire Le résultat de cet événement est unique. B: Obtenir le nombre 6 B = {6} Événements compatibles Peuvent se réaliser en même temps. B: Obtenir un multiple de 3 Événements incompatibles Ne peuvent pas se réaliser en même temps. B: Obtenir un diviseur de 3

Événements complémentaires Ils n’ont pas des résultats communs, mais, ensemble, ils contiennent tous les résultats possibles A= {Obtenir un nombre pair} = {2,4,6} B= {Obtenir un nombre impair} = {1,3,5} AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω Probabilité d’un événement Quelle est la chance(la probabilité) qu’un événement se produise? Pour la calculer: P(A) = Nmbr de cas favorables Nmbr total résultats possibles On lance une pièce de monnaie et ensuite, un dé. Calculer la probabilité d’avoir une Face suivie d’un nombre pair (événement A). Intersection d’événements A ∩ B L’événement formé par l’ensemble des résultats communs des deux évènements. A: { Obtenir un nombre pair } B: { Obtenir un diviseur de 4 } A = {2,4,6}; B = {1,2,4} A ∩ B = {2,4} Union d’événements compatibles A U B La probabilité que A OU B se produisent. P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A ∩ B) B: { Obtenir un multiple de 3 } P(AUB)=1/2 + 2/6 – 1/6 = 2/3 Ω = {P1, P2, P3, P4, P5, P6, F1, F2, F3, F4, F5, F6} A = {F2, F4, F6} P(A) = 3/12 = ¼ = 25%

Notion Signification Exemple Union d’événements incompatibles A U B La probabilité que A OU B se produisent. P(A U B) = P(A)+P(B) A: { Obtenir un nombre pair } B: { Obtenir un diviseur de 3 } P(AUB)=1/2 + 2/6 = 5/6 Événements indépendants La réalisation de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre. Lancer un dé deux fois. Le résultat du deuxième lancé ne dépend pas du résultat du premier.

Énumération systématique Dénombrement des résultats d’une expérience aléatoire à plusieurs étapes Tableau Diagramme en arbre Énumération systématique Ω = {P1, P2, P3, P4, P5, P6, F1, F2, F3, F4, F5, F6} Pile Face 1 (P,1) (F,1) 2 (P,2) (F,2) 3 (P,3) (F,3) 4 (P,4) (F,4) 5 (P,5) (F,5) 6 (P,6) (F,6) 1 1 Résultats: P1, P2, P3, P4, P5, P6, F1, F2, F3, F4, F5, F6 2 2 P 3 4 5 6 1 2 3 F 4 5 6

Le principe de multiplication Ce principe s’applique aux expérience aléatoires à plusieurs étapes. Le nombre de résultats possibles = (nombre de résultats possibles de l’étape 1) x (nombre de résultats possibles de l’étape 2) x …….. (nombre de résultats possibles de l’étape n) Exemple: Quel est le nombre de résultats possibles de l’expérience composée par les étapes suivantes: lancer un dé, lancer une pièce de monnaie et lancer un autre dé? 6.2.6 = 72 résultats possibles